- Демонстрація
- Як це вирішується?
- Розкладання на прості дроби
- Історія
- Вправи
- Вправа 1
- Вправа 2
- Список літератури
Сума телескопічний є філією операцій числовий ряд. Він стосується підсумовування елементів від початкового значення до «n» виразів, аргумент яких підкоряється будь-якій з наступних зразків:
(F x - F x + 1 ); (F x + 1 - F x )
Також:
Джерело: Pixabay.com
Вони являють собою підсумовування елементів, які при розробці піддаються скасуванню протилежних доданків. Дозволяючи визначити наступну рівність для телескопічних підсумків:
Його назва походить від зв'язку із появою класичного телескопа, який можна було скласти і розгорнути, помітно змінивши його розмірність. Таким же чином телескопічні підсумки, які мають нескінченний характер, можна узагальнити у спрощеному виразі:
F 1 - F n + 1
Демонстрація
При розробці підсумовування термінів усунення факторів цілком очевидно. Де для кожного із випадків, в наступній ітерації з’являться протилежні елементи.
Перший випадок (F x - F x + 1 ) візьмемо за приклад , оскільки процес працює гомологічно для (F x + 1 –F x ).
При розробці перших 3 значень {1, 2, 3} спостерігається тенденція спрощення
X 1 (F 1 - F 1 + 1 ) = F 1 - F 2
X 2 (F 2 - F 2 + 1 ) = F 2 - F 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1 ) = F 3 - F 4
Де при вираженні суми описаних елементів:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
Спостерігається, що терміни F 2 і F 3 описуються разом із їхніми протилежностями, що робить їх спрощення неминучим. Таким же чином спостерігається, що умови F 1 і F 4 зберігаються.
Якщо сума була складена від x = 1 до x = 3, це означає, що елемент F 4 відповідає загальному терміну F n + 1.
Таким чином демонструючи рівність:
Як це вирішується?
Мета телескопічних підсумків - полегшити роботу, щоб не потрібно було розробляти нескінченну кількість доданків або спрощувати занадто довгий ланцюжок придатків.
Для її вирішення потрібно буде лише оцінити терміни F 1 і F n + 1 . Ці прості заміни складають кінцевий результат підсумовування.
Сукупність термінів не буде виражена, що стане необхідним лише для демонстрації результату, але не для нормального процесу розрахунку.
Важливо - помітити збіжність рядів чисел. Іноді аргумент підсумовування не буде виражено телескопічно. У цих випадках реалізація альтернативних методів факторингу дуже поширена.
Характерним методом факторизації для телескопічних доповнень є метод простих фракцій. Це відбувається, коли початкова фракція розкладається на суму декількох дробів, де можна спостерігати телескопічний малюнок (F x - F x + 1 ) або (F x + 1 - F x ).
Розкладання на прості дроби
Для перевірки збіжності числових рядів дуже часто перетворювати раціональні вирази методом простого дробу. Мета - змоделювати сюжет у формі телескопічного підсумовування.
Наприклад, наступна рівність являє собою розкладання на прості дроби:
При розробці числових рядів і застосуванні відповідних властивостей вираз набуває такої форми:
Там, де оцінена телескопічна форма (F x - F x + 1 ).
Процедура досить інтуїтивна і полягає у знаходженні значень чисельника, які, не порушуючи рівності, дозволяють нам відокремити добутки, знайдені в знаменнику. Рівняння, що виникають при визначенні цих значень, підводяться відповідно до порівнянь між обома сторонами рівності.
Ця процедура дотримується поетапно при розробці вправи 2.
Історія
Досить невпевнено можна визначити історичний момент, в який були представлені телескопічні підсумки. Однак її реалізація починає бачитись у XVII столітті, у дослідженнях чисельних рядів, проведених Лейбніцом та Гюйгенсом.
Обидва математики, досліджуючи підсумовування трикутних чисел, починають помічати тенденції збіжності певних рядів послідовних елементів. Але ще цікавішим є початок моделювання цих виразів, в елементах, які не обов'язково слідують один за одним.
Насправді, вираз, який раніше використовувався для позначення простих дробів:
Його ввів Гюйгенс і одразу привернув увагу Лейбніца. Хто з часом міг спостерігати конвергенцію до величини 2. Не знаючи цього, той застосував телескопічний формат підсумовування.
Вправи
Вправа 1
Визначте, до якого терміна сходиться наступна сума:
Під час розробки суми вручну дотримується наступної схеми:
(2 3 - 2 4 ) + (2 4 - 2 5 ) + (2 5 - 2 6 ). . . . (2 10 - 2 11 )
Якщо фактори від 2 4 до 2 10 представляють позитивні та негативні частини, що робить їх скасування очевидним. Тоді єдиними факторами, які не будуть спрощені, буде перший «2 3 » та останній «2 11 ».
Таким чином, реалізуючи критерій телескопічного підсумовування, отримують наступне:
Вправа 2
Перетворіть аргумент у підсумок телескопічного типу та визначте збіжність рядів:
Як зазначено в заяві, перше, що потрібно зробити, - це розкласти на прості дроби, щоб перезапустити аргумент і висловити його телескопічним способом.
Ви повинні знайти 2 дроби, знаменники яких відповідно "n" та "n + 1", де використовуваний нижче метод повинен отримати значення чисельника, що задовольняють рівності.
Переходимо до визначення значень A і B. Спочатку додаємо дроби.
Потім знаменники спрощуються і встановлюється лінійне рівняння.
На наступному кроці керується виразом праворуч, поки не буде досягнута схема, порівнянна з “3” зліва.
Щоб визначити використовувані рівняння, слід порівнювати результати обох сторін рівності. Тобто ніяких значень змінної n не спостерігається зліва, тому A + B доведеться дорівнювати нулю.
А + В = 0; A = -B
З іншого боку, постійне значення A повинно бути рівним постійному значенню 3.
А = 3
Таким чином.
А = 3 і В = -3
Після того, як значення чисельника для простих дробів уже визначені, підсумовується підсумок.
Там, де вже досягнута родова форма телескопічного підсумовування. Телескопічна серія розроблена.
Де при діленні на дуже велику кількість результат наблизиться і наблизиться до нуля, спостерігаючи зближення ряду до значення 3.
Цей тип серій не можна було вирішити іншим способом через нескінченну кількість ітерацій, що визначають проблему. Однак цей метод, поряд з багатьма іншими, формує галузь вивчення числових рядів, мета якої - визначити значення конвергенції або визначити розбіжність зазначених рядів.
Список літератури
- Бесконечно малі уроки числення. Мануель Франко, Мануель Франко Ніколас, Франциско Мартінес Гонсалес, Роке Моліна Легаз. EDITUM, 1994.
- Інтегральне числення: послідовності та ряд функцій. Антоніо Рівера Фігероа. Grupo Редакція Патрія, 21 жовтня. 2014 рік.
- Курс з обчислення та реального аналізу. Судхір Р. Горпаде, Бальмохан В. Лімає. Springer Science & Business Media, 5 червня. 2006 рік.
- Нескінченна серія. Форт Томлінсон. The Clarendon Press, 1930.
- Елементи теорії нескінченних процесів. Ллойд Лерой Смайл. Книжкова компанія McGraw-Hill, Incorporated, 1923 рік.