- Доведення фундаментальної теореми арифметики
- Унікальність простої факторизації
- Програми
- Прості числа в природі
- Основні номери та інтернет-магазини
- Розв’язані вправи
- - Вправа 1
- Рішення
- - Вправа 2
- Рішення
- Список літератури
Основна теорема арифметичних станів , що будь-яке натуральне число більше , ніж 1 , може бути розкладені як твір простих чисел - деякі з них можуть повторюватися - і ця форма є унікальною для цього числа, хоча порядок факторів може бути різним.
Нагадаємо, що просте число p - це те, що визнає лише себе і 1. як позитивні дільники. Наступні числа є простими числами: 2, 3, 5, 7, 11, 13 тощо, оскільки існують нескінченності. Число 1 не вважається простим, оскільки воно має лише один дільник.
Малюнок 1. Евклід (ліворуч) довів основоположну теорему арифметики у своїй книзі "Елементи" (350 р. До н. Е.), І перше повне доведення належить Карлу Ф. Гаусу (1777-1855) (праворуч). Джерело: Wikimedia Commons.
Зі свого боку, числа, які не відповідають вищевказаному, називаються складовими числами, такими як 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Візьмемо для прикладу число 10 і відразу побачимо, що воно може бути розкладене як добуток 2 і 5:
10 = 2 × 5
І фактично, 2 і 5 є простими числами. Теорема стверджує, що це можливо для будь-якого числа n:
Де p 1 , p 2 , p 3 … p r - прості числа, а k 1 , k 2 , k 3 ,… k r - натуральні числа. Тож прості числа виступають як будівельні блоки, з яких шляхом множення будуються натуральні числа.
Доведення фундаментальної теореми арифметики
Спочатку ми показуємо, що кожне число можна розкласти на прості множники. Нехай буде натуральним числом n> 1, простим або складеним.
Наприклад, якщо n = 2, це може бути виражено як: 2 = 1 × 2, що є простим. Таким же чином поступайте з наступними номерами:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Ми продовжуємо так, розкладаючи всі натуральні числа, поки не досягнемо числа n -1. Давайте подивимось, чи можемо ми зробити це з таким числом: n.
Якщо n є простим, ми можемо розкласти його як n = 1 × n, але припустимо, що n складений і має дільник d, логічно менше n:
1 <d <n.
Якщо n / d = p 1 , при p 1 просте число, то n записується як:
n = p 1 .d
Якщо d є простим, то робити більше немає, але якщо його немає, є число n 2, яке є дільником d і менше, ніж це: n 2 <d, тому d можна записати як добуток n 2 іншим просте число p 2 :
d = p 2 n 2
Що при заміні вихідного числа n дасть:
n = p 1 .p 2 .n 2
Тепер припустимо, що n 2 не є простим числом, і запишемо його як добуток простого числа p 3 , його дільником n 3 , таким чином, що n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3 .n 3 → n = p 1 p 2 p 3 .n 3
Ми повторюємо цю процедуру скінченну кількість разів, поки не отримаємо:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
Це означає, що можна розкласти всі цілі числа від 2 до числа n, як добуток простих чисел.
Унікальність простої факторизації
Тепер перевіримо, що, крім порядку чинників, це розкладання є унікальним. Припустимо, що n можна записати двома способами:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 .q 3 … ..q s (з r ≤ s)
Звичайно, q 1 , q 2 , q 3 … теж прості числа. Оскільки p 1 ділиться (q 1. q 2 .q 3 … ..q s ), то p 1 дорівнює будь-якому з “q”, не має значення, який з них, тому можна сказати, що p 1 = q 1 . Ділимо n на p 1 і отримуємо:
p 2 .p 3 … p r = . q 2 .q 3 … ..q s
Повторюємо процедуру, поки не розділимо все на p r , тоді отримаємо:
1 = q r + 1 … q s
Але досягти q r + 1 … q s = 1 при r <s неможливо , лише якщо r = s. Хоча визнаючи, що r = s, також визнається, що "p" і "q" однакові. Тому розкладання унікальне.
Програми
Як ми вже говорили раніше, прості числа представляють, якщо вам подобається, атоми чисел, їх основні компоненти. Тож основна теорема арифметики має численні програми, найочевидніша: ми можемо працювати з великими числами легше, якщо виразити їх як добуток менших чисел.
Таким же чином ми можемо знайти найбільший спільний кратний (LCM) та найбільший спільний дільник (GCF) - процедуру, яка допомагає нам легше складати додавання дробів, знаходити корені великої кількості чи оперувати радикалами, раціоналізувати та вирішувати проблеми застосування дуже різноманітного характеру.
Крім того, прості числа надзвичайно загадкові. Шаблон у них ще не розпізнаний, і неможливо дізнатися, який буде наступним. Найбільший до цих пір був знайдений комп’ютерами і має 24 862 048 цифр, хоча нові прості числа з'являються щораз рідше.
Прості числа в природі
Цикади, цикадидо або цикада, які живуть на північному сході США, виникають циклами 13 або 17 років. Вони обидва прості числа.
Таким чином цикади уникають збігу з хижаками чи конкурентами, які мають інші періоди народження, а також різні сорти цикад не конкурують між собою, оскільки вони не збігаються протягом того ж року.
Малюнок 2. Цикада Magicicada на сході США виникає кожні 13 - 17 років. Джерело: Pxfuel.
Основні номери та інтернет-магазини
Прості номери використовуються в криптографії, щоб зберігати дані секретної картки в таємниці під час здійснення покупок через Інтернет. Таким чином, дані про те, що покупець доходить до магазину саме без втрати або попадання в руки недобросовісних людей.
Як? Дані на картках закодовані в число N, яке можна виразити як добуток простих чисел. Ці прості номери - це ключ, який розкривають дані, але вони невідомі населенню, їх можна розшифрувати лише в Інтернеті, до якого вони спрямовані.
Декомпозиція числа на коефіцієнти - це легке завдання, якщо числа невеликі (див. Розв’язані вправи), але в цьому випадку прості числа в 100 цифр використовуються як ключові, які при множенні їх дають набагато більші числа, детальне розкладання яких передбачає величезне завдання .
Розв’язані вправи
- Вправа 1
Розбийте 1029 на основні фактори.
Рішення
1029 ділиться на 3. Це відомо, тому що при додаванні його цифр сума кратна 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Оскільки порядок факторів не змінює добуток, ми можемо почати там:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
З іншого боку, 343 = 7 3 , тоді:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
А оскільки і 3, і 7 - прості числа, це розкладання 1029 року.
- Вправа 2
Фактор тричлена x 2 + 42x + 432.
Рішення
Тричлен переписується у вигляді (x + a). (x + b), і нам потрібно знайти значення a і b, такі:
a + b = 42; ab = 432
Число 432 розкладається на прості коефіцієнти, і звідти вибирається відповідне поєднання методом проб і помилок, так що додані множники дають 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
Звідси є кілька можливостей написати 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
І все можна знайти, комбінуючи продукти між основними факторами, але для вирішення запропонованої вправи єдиною підходящою комбінацією є: 432 = 24 × 18, оскільки 24 + 18 = 42, тоді:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (х +18)
Список літератури
- Бальдор, А. 1986. Теоретична практична арифметика. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. Прихований кодекс природи. Відновлено з: bbc.com.
- Де Леон, Мануель. Прості номери: опікуни Інтернету. Відновлено з: blogs.20minutos.es.
- УНАМ. Теорія чисел I: Основна теорія арифметики. Відновлено: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Вікіпедія. Фундаментальна теорема арифметики. Відновлено з: es.wikipedia.org.