ТРАПЕЦІЯ ІЗОЕЛЕМЕНТІВ: ВЛАСТИВОСТІ, ЗВ’ЯЗКИ ТА ФОРМУЛИ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Рівнобедреної трапеції є чотирикутником , в якому дві сторони паралельні один одному і, крім того, два кута поруч з однією з цих паралельних сторін мають однакову міру.

На малюнку 1 маємо чотирикутник ABCD, у якого сторони AD і BC паралельні. Крім того, кути ∠DAB і ∠ADC, що примикають до паралельної сторони AD, мають однаковий показник α.

Малюнок 1. Ізоскелети трапеції. Джерело: Ф. Сапата.

Отже, цей чотирикутник, або чотиристоронній багатокутник, насправді є рівнобедреною трапецією.

У трапеції паралельні сторони називаються основами, а непаралельні сторони називаються бічними. Ще одна важлива характеристика - висота, яка становить відстань, яка розділяє паралельні сторони.

Крім рівнобедреної трапеції існують і інші види трапеції:

-T рапезоїдна шкала, яка має всі свої кути і різні сторони.

-Прямокутна рапезоїда, у якої одна сторона має прямі суміжні кути.

Трапецієподібна форма поширена в різних сферах дизайну, архітектури, електроніки, обчислення та багатьох інших, як буде показано далі. Звідси важливість ознайомлення з її властивостями.

Властивості

Виключно до рівнобедреної трапеції

Якщо трапеція рівнобедрена, то вона має такі характерні властивості:

1.- Сторони мають однаковий вимір.

2.- Кути, прилеглі до основ, рівні.

3.- Протилежні кути є додатковими.

4.– Діагоналі мають однакову довжину, два відрізки, що з'єднують протилежні вершини, однакові.

5.- Кут, утворений між основами та діагоналями, є однаковою мірою.

6.- Має обведене окружність.

І навпаки, якщо трапеція відповідає будь-якій з перерахованих вище властивостей, то це рівнобедрена трапеція.

Якщо в рівнобедреній трапеції один з кутів є правим (90º), то і всі інші кути будуть правильними, утворюючи прямокутник. Тобто прямокутник є особливим випадком трапеції рівнобедрених.

Малюнок 2. Контейнер з попкорну та шкільні столики мають форму трапеції рівнобедрених. Джерело: Pxfuel (зліва) / McDowell Craig через Flickr. (праворуч)

На всю трапецію

Наступний набір властивостей дійсний для будь-якої трапеції:

7.– Медіана трапеції, тобто відрізка, що з'єднує середини її непаралельних сторін, паралельна будь-якій з основ.

8.– Довжина медіани дорівнює півсумі (сума, поділена на 2) від її основи.

9. - Медіана трапеції розрізає її діагоналі в середній точці.

10.- Діагоналі трапеції перетинаються в точці, яка ділить їх на два відрізки, пропорційні часткам основ.

11.- Сума квадратів діагоналей трапеції дорівнює сумі квадратів її сторін плюс подвійний добуток її основ.

12.- Відрізок, що приєднується до середини точок діагоналей, має довжину, рівну піврізниці основ.

13.- Кути, прилеглі до боків, є додатковими.

14.- Трапеція має вписане окружність тоді і лише тоді, коли сума її основ дорівнює сумі її сторін.

15.- Якщо трапеція має вписане окружність, то кути з вершиною в центрі зазначеної окружності та сторони, що проходять через кінці тієї ж сторони, є прямими кутами.

Взаємовідносини та формули

Наступний набір взаємозв'язків і формул позначений на малюнку 3, де крім трапеції рівнобедрених розмірів показані й інші важливі сегменти, вже згадані, такі як діагоналі, висота та медіана.

Малюнок 3. Медіана, діагоналі, висота та обведена окружність в рівнобедреній трапеції. Джерело: Ф. Сапата.

Унікальні стосунки рівнобедреного трапеції

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA і ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º і ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C і D належать до описаного кола.

Відносини для будь-якої трапеції

1. Якщо АК = КБ і DL = LC ⇒ KL - AD і KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 і DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC і DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º і ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Якщо AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R, ніж рівновіддалений від AD, BC, AB і DC

15.- Якщо ∃ R рівновіддалений від AD, BC, AB та DC, то:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Відносини для рівнобедреного трапеції з вписаним колом

Якщо в рівнобедреній трапеції сума основ дорівнює двічі бічній, то вписане коло існує.

Малюнок 4. Трапеція з вписаною окружністю. Джерело: Ф. Сапата.

Наступні властивості застосовуються, коли рівнобедрена трапеція має вписане коло (див. Рисунок 4 вище):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.– Діагоналі перетинаються під прямим кутом: AC ⊥ BD

18.- Висота вимірюється так само, як медіана: HF = KL, тобто h = m.

19.- Квадрат висоти дорівнює добутку основ: h ² = BC⋅AD

20.- За цих специфічних умов площа трапеції дорівнює квадрату висоти або добутку основ: Площа = h ² = BC⋅AD.

Формули для визначення однієї сторони, знання інших та кута

Знаючи основу, бічний і кут, іншу основу можна визначити:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Якщо довжина основ і кут наведені як відомі дані, то довжини обох сторін такі:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Визначення однієї сторони, пізнання інших та діагональ

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Де d ₁ - довжина діагоналей.

База з висоти, площі та іншої основи

a = (2 A) / h - b

b = (2 А) / год - а

Відомі бічні основи, площа та кут

c = (2A) /

Відома бічна медіана, площа та кут

c = A / (m sin α)

Відома висота бортів

h = √

Відомий висота кута і дві сторони

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Відомі діагоналі з усіх боків, або дві сторони і кут

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Периметр рівнобедреного трикутника

P = a + b + 2c

Ізоскелець трапеції

Існує кілька формул для обчислення площі, залежно від відомих даних. Далі є найбільш відомим, залежно від основ і висоти:

A = h⋅ (a + b) / 2

І ви також можете використовувати ці інші:

-Якщо боки відомі

A = √

-Коли у вас дві сторони і кут

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Якщо відомі радіус вписаного кола та кут

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Коли відомі основи та кут

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Якщо на трапеції можна вписати окружність

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Зазнайте діагоналі та кут, який вони утворюють одна з одною

A = (D ₁ ² /2) γ = вересня (д ₁ ² /2) & delta ; Sen

-Коли у вас є бічна, середня і кутова

A = mc.sen α = mc.sen β

Радіус описаного кола

Тільки рівнобедрені трапеції мають окреслену окружність. Якщо _відомі більша основа а, бічна с і діагональ d ₁ , то радіус R кола, що проходить через чотири вершини трапеції, є:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Де p = (a + c + d ₁ ) / 2

Приклади використання рівнобедреної трапеції

Трапеція рівнобедрених зображується в області дизайну, як видно на малюнку 2. І ось кілька додаткових прикладів:

В архітектурі та будівництві

Стародавні інки знали трапецію рівнобедрених і використовували її як будівельний елемент у цьому вікні в Куско, Перу:

Малюнок 5. Трапецієподібне вікно Коріканча, Куско. Джерело: Wikimedia Commons.

І ось трапеція знову з’являється в так званому трапецієподібному листі, матеріалі, який часто використовується в будівництві:

Рисунок 6. Металевий лист трапеції тимчасово захищає вікна будинку. Джерело: Wikimedia Commons.

У дизайні

Ми вже бачили, що трапеція рівнобедрених зображається в предметах побуту, включаючи такі продукти, як ця шоколадна плитка:

Малюнок 7. Шоколадна плитка, обличчя якої мають форму трапеції рівнобедреного розміру. Джерело: Pxfuel.

Розв’язані вправи

- Вправа 1

Трапеція рівнобедреної форми має основу більше 9 см, основу менше 3 см, а її діагоналі - 8 см кожна. Обчисліть:

а) сторона

б) Висота

в) Периметр

г) Площа

Малюнок 8. Схема вправи 1. Джерело: Ф. Сапата

Рішення для

Позначається висота CP = h, де підніжжя висоти визначає відрізки:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Використовуючи теорему Піфагора до правильного трикутника DPC:

з ² = Н ² + (а - б) ² /4

А також до правильного трикутника APC:

д ² = Н ² + АР ² = Н ² + (а + б) ² /4

Нарешті, член за членом віднімається, друге рівняння від першого і спрощено:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 см

Рішення b

ч ² = d ² - (а + б) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 див

Розв’язання c

Периметр = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 див

Рішення d

Площа = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 см

- Вправа 2

Є рівнобедрена трапеція, більша основа якої вдвічі менша, а її менша основа дорівнює висоті, що становить 6 див. Вирішіть:

а) Довжина бічних

б) Периметр

в) Площа

г) Кути

Малюнок 8. Схема вправи 2. Джерело: Ф. Сапата

Рішення для

Дані: a = 12, b = a / 2 = 6 і h = b = 6

Проведемо так: намалюємо висоту h і застосуємо теорему Піфагора до трикутника гіпотенузи «c» і ніжки h і x:

c ² = h ² + xc ²

Тоді вам слід обчислити значення висоти з даних (h = b) і висоти ніжки x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Підставляючи попередні вирази, ми маємо:

з ² = Ь ² + (аb) ² /2 ²

Тепер вводяться числові значення і спрощується:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Отримання:

c = 3√5 = 6,71 см

Рішення b

Периметр P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 див

Розв’язання c

Площа як функція висоти та довжини підстав:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 см ²

Рішення d

Кут α, який утворюють бічні з більшою основою, отримується тригонометрією:

Загар (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

Інший кут, той, який утворює бічний з меншою основою, є β, який доповнює α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Список літератури

1. EA 2003. Елементи геометрії: з вправами та геометрією циркуля. Університет Медельїна.
2. Кампос, Ф. 2014. Математика 2. Групова редакційна патрія.
3. Фрід, К. 2007. Відкрийте багатокутники. Benchmark Education Company.
4. Хендрік, В. 2013. Узагальнені багатокутники. Birkhäuser.
5. ІГЕР. Математика Перший семестр Tacaná. ІГЕР.
6. Молодша геометрія 2014. Полігони. Lulu Press, Inc.
7. Міллер, Херен та Хорнсбі. 2006. Математика: міркування та застосування. 10-й. Видання. Пірсон освіта.
8. Патіньо, М. 2006. Математика 5. Редакційна стаття.
9. Вікіпедія. Трапеція. Відновлено з: es.wikipedia.com