ПАРАЛЕЛЬНІ ВЕКТОРИ: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИКЛАДИ ТА ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Ці паралельні вектори є векторами групи , чиї осі збігаються в одній точці, утворюючи між кожною парою внутрішнього і зовнішнього іншого кута. Ясний приклад видно на малюнку нижче, де A, B і C - це вектори, що паралельно поєднуються один з одним.

D і E на відміну від решти не є. Між паралельними векторами AB, AC та CB утворюються кути. Їх називають відносинами кутів між векторами.

характеристики

-У них є спільна точка, яка збігається з їх походженням: всі величини паралельних векторів починаються від загальної точки до відповідних їх кінців.

-Походження вважається точкою дії вектора: повинна бути встановлена ​​точка дії, яка буде безпосередньо впливати на кожен з одночасних векторів.

- Його домен у площині та просторі відповідно R ² та R ³ : паралельні вектори вільні охопити весь геометричний простір.

-Допускає різні позначення в одній групі векторів. За даними галузей дослідження, в операціях з векторами присутні різні позначення.

Типи векторів

Гілка векторів має кілька підрозділів, серед деяких їх можна назвати: паралельні, перпендикулярні, копланарні, відповідні, протилежні та унітарні. Тут перераховані паралельні вектори, і як і всі названі вище, вони мають багато застосувань у різних науках.

Вони дуже поширені при вивченні векторів, оскільки представляють корисне узагальнення в операціях з ними. Як в площині, так і в просторі паралельні вектори зазвичай використовуються для представлення різних елементів та вивчення їх впливу на певну систему.

Векторна позначення

Існує кілька способів представити векторний елемент. Основні та найвідоміші:

Декартовий

Запропонований цим самим математичним підходом, він позначає вектори з трійкою, що відповідає величинам кожної осі (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Простір A: (1, 1) Площина

Полярний

Вони служать лише для позначення векторів у площині, хоча в цілісному обчисленні їй призначається компонент глибини. Він складається з лінійною величиною r та кутом відносно полярної осі Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Площина A: (2, 45 ⁰ , 3) Простір

Аналітичний

Вони визначають величини вектора за допомогою версорів. Вершини (i + j + k) являють собою одиничні вектори, що відповідають осям X, Y і

A: 3i + 2j - 3k

Сферичні

Вони схожі на полярні позначення, але з додаванням другого кута, що проносяться над площиною xy, що символізується δ.

A: (4, 60 ^або , π / 4)

Одночасні векторні операції

Паралельні вектори в основному використовуються для визначення операцій між векторами, оскільки легше порівнювати елементи векторів, коли вони подаються одночасно.

Сума (A + B)

Сума паралельних векторів спрямована на пошук результуючого вектора V _r . Що, за даними галузі дослідження, відповідає кінцевій дії

Наприклад: 3 рядки {A, B, C} прив’язані до поля, кожен кінець рядка утримується однією темою. Кожен з 3 предметів повинен тягнути мотузку в іншому напрямку, ніж інші 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

Коробка зможе рухатись лише в одному напрямку, тому V _r вказуватиме напрямок та напрямок руху коробки.

Різниця (A - B)

Існує багато критеріїв щодо різниці між векторами, багато авторів вирішують її виключити і заявляють, що передбачена лише сума між векторами, де різниця приблизно суми протилежного вектора. Правда полягає в тому, що вектори можна відняти алгебраїчно.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Скалярний продукт (А. Б)

Також відомий як крапковий продукт, він генерує скалярне значення, яке може бути пов'язане з різними величинами залежно від галузі дослідження.

Для геометрії вкажіть область паралелограма, утворену парою паралельних векторів методом паралелограма. Для механічної фізики він визначає роботу, виконану силою F при переміщенні тіла на відстань Δr.

ѡ = F . Δr

Як вказує його назва, воно генерує скалярне значення і визначається так:

Нехай будуть вектори А і В

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Аналітична форма:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Де θ - внутрішній кут між обома векторами

-Альгебраїчна форма:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Поперечний виріб (A x B)

Векторний добуток або скалярний твір між двома векторами, визначає третій вектор C , має якість бути перпендикулярна B і C . У фізиці вектор крутного моменту τ є базовим елементом обертової динаміки.

-Аналітична форма:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Альгебраїчна форма:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

-Зносний рух: r _{A / B}

Основою відносності є відносний рух, а паралельні вектори є основою відносного руху. Відносні позиції, швидкості та прискорення можна визначити, застосовуючи наступний порядок ідей.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Відносне положення А відносно В

v _{A / B} = v _A - v _B ; Відносна швидкість А відносно В

a _{A / B} = a _A - a _B ; Відносне прискорення А відносно В

Приклади: розв’язані вправи

Вправа 1

Нехай A, B і C - паралельні вектори.

А = (-1, 3, 5) В = (3, 5, -2) С = (-4, -2, 1)

-Визначте отриманий вектор V _r = 2A - 3B + C

2А = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3В = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Визначте крапковий продукт (A. C)

(А. С) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(А. С) = 3

-Прорахуйте кут між А і С

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Де θ - найкоротший кут між векторами

θ = 88,63 ⁰

-Знайдіть вектор, перпендикулярний А та В

Для цього необхідно визначити векторний добуток між (-1, 3, 5) і (3, 5, -2). Як було пояснено раніше, матриця 3 х 3 побудована там, де перший рядок складається з векторів потрійних одиниць (i, j, k). Потім 2-й і 3-й ряди складаються з векторів для роботи, дотримуючись оперативного порядку.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Вправа 2

Нехай V _a і V _b - вектори швидкостей A і B відповідно. Обчисліть швидкість B, видно з А.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

У цьому випадку вимагається відносна швидкість B по відношенню до A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Це вектор швидкості B, видно з А. Там, де описаний новий вектор швидкості B, посилаючись на спостерігача, розміщеного на A, і рухається зі швидкістю A.

Запропоновані вправи

1-Побудуйте 3 вектори A, B і C, які є одночасно, і пов'язані 3 операції між ними за допомогою практичної вправи.

2-Нехай вектори А: (-2, 4, -11), В: (1, -6, 9) і С: (-2, -1, 10). Знайдіть вектори, перпендикулярні до: A і B, C і B, сума A + B + C.

4 - Визначте 3 вектори, які перпендикулярні один одному, без урахування осей координат.

5-Визначте роботу, виконану силою, яка піднімає блок масою 5 кг, з дна колодязя глибиною 20 м.

6 - Покажіть алгебраїчно, що віднімання векторів дорівнює сумі протилежного вектора. Обґрунтуйте свої постулати.

7-Позначте вектор у всіх позначеннях, розроблених у цій статті. (Декартові, полярні, аналітичні та сферичні).

8 -Магнітні сили, що діють на магніт, який спирається на стіл, задаються наступними векторами; V: (5, 3, -2), Т: (4, 7, 9), Н: (-3, 5, -4). Визначте, в якому напрямку рухатиметься магніт, якщо всі магнітні сили діють одночасно.

Список літератури

1. Евклідова геометрія та трансформації. Клейтон В. Додж. Кур'єрська корпорація, 1 січня 2004 рік
2. Як розв’язати задачі з прикладної математики Л. Мойсейвіч. Кур'єрська корпорація, 10 квіт 2013 рік
3. Основні поняття геометрії. Вальтер Преновіц, Майер Джордан. Rowman & Littlefield, 4 жовтня. 2012 рік
4. Вектори. Росіо Наварро Лакоба, 7 червня. 2014 рік
5. Лінійна алгебра. Бернар Колман, Девід Р. Хілл. Pearson Education, 2006