ПОСЛІДОВНІ ПОХІДНІ (З РОЗВ’ЯЗАНИМИ ВПРАВАМИ) - МАТЕМАТИКА - 2025

Ці послідовні похідні є ті , які отримані від однієї функції після того, як другої похідної. Процес обчислення послідовних похідних полягає в наступному: у нас є функція f, яку ми можемо отримати і таким чином отримати похідну функцію f '. Ми можемо отримати це похідне від f знову, отримуючи (f ')'.

Ця нова функція називається другою похідною; всі похідні, обчислені з другого, є послідовними; Вони, також названі вищим порядком, мають велике застосування, такі як надання інформації про графік графіку функції, тест другої похідної на відносні крайності та визначення нескінченного ряду.

Визначення

Використовуючи позначення Лейбніца, ми маємо, що похідна функції "y" щодо "x" є dy / dx. Для вираження другої похідної "y", використовуючи позначення Лейбніца, пишемо так:

Взагалі, ми можемо виразити послідовні похідні так, як випливає з позначення Лейбніца, де n являє собою порядок похідної.

Інші використовувані позначення:

Деякі приклади, де ми можемо бачити різні позначення:

Приклад 1

Отримайте всі похідні функції f, визначені:

Використовуючи звичайні методики деривації, ми маємо, що похідна f є:

Повторивши процес, ми можемо отримати другу похідну, третю похідну тощо.

Зауважимо, що четверта похідна дорівнює нулю, а похідна нуля дорівнює нулю, тому маємо:

Приклад 2

Обчисліть четверту похідну наступної функції:

Виведення заданої функції у нас є:

Швидкість і прискорення

Однією з мотивацій, що призвели до відкриття похідної, був пошук визначення миттєвої швидкості. Формальне визначення таке:

Нехай y = f (t) - функція, графік якої описує траєкторію частинки в момент часу t, тоді її швидкість у момент t задається через:

Після отримання швидкості частинки ми можемо обчислити миттєве прискорення, яке визначається наступним чином:

Миттєве прискорення частинки, шлях якої задається y = f (t), дорівнює:

Приклад 1

Частинка рухається по лінії відповідно до функції позиції:

Де "у" вимірюється в метрах, а "т" - в секундах.

- У який момент його швидкість 0?

- У який момент відбувається його прискорення 0?

Виводячи функцію позиції «і», маємо, що її швидкість і прискорення задаються відповідно:

Щоб відповісти на перше запитання, досить визначити, коли функція v стає нульовою; це:

Аналогічно ми переходимо до наступного питання:

Приклад 2

Частинка рухається по лінії відповідно до наступного рівняння руху:

Визначте "t, y" і "v", коли a = 0.

Знаючи, що швидкість і прискорення задаються

Переходимо до отримання та отримання:

Зробивши a = 0, маємо:

Звідки ми можемо зробити висновок, що значення t для a дорівнює нулю - t = 1.

Тоді, оцінюючи функцію позиції та функцію швидкості при t = 1, маємо:

Програми

Явна деривація

Послідовні похідні також можуть бути отримані шляхом неявного виведення.

Приклад

З огляду на наступний еліпс, знайдіть "у":

Похідно неявно відносно x, ми маємо:

Тоді неявно повторне походження стосовно x дає нам:

Нарешті, ми маємо:

Відносні крайнощі

Ще одне використання, яке ми можемо надати похідним другого порядку, - це обчислення відносних крайностей функції.

Критерій першої похідної для локальних крайнощів говорить нам про те, що якщо ми маємо безперервну функцію f на проміжку (a, b) і є c, що відноситься до зазначеного інтервалу, таке, що f 'зникає в c (тобто, що c є критичним моментом), може статися один із трьох випадків:

- Якщо f´ (x)> 0 для будь-якого x, що належить (a, c) і f´ (x) <0 для x, що належить (c, b), то f (c) - локальний максимум.

- Якщо f´ (x) <0 для будь-якого x, що належить (a, c) і f´ (x)> 0 для x, що належить (c, b), то f (c) - локальний мінімум.

- Якщо f´ (x) має однаковий знак (a, c) та in (c, b), це означає, що f (c) не є локальною крайністю.

Використовуючи критерій другої похідної, ми можемо знати, чи критичне число функції є локальним максимумом чи мінімумом, без того, щоб бачити, яка ознака функції знаходиться у вищезгаданих інтервалах.

Критерій другого дрейфу говорить нам, що якщо f´ (c) = 0, а f´´ (x) безперервний в (a, b), то буває, що якщо f´´ (c)> 0, то f (c) - локальний мінімум, і якщо f´´ (c) <0, то f (c) - локальний максимум.

Якщо f´´ (c) = 0, ми нічого не можемо зробити висновок.

Приклад

З огляду на функцію f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² , знайдіть відносні максимуми та мінімуми f, використовуючи критерій другої похідної.

Спочатку обчислюємо f´ (x) та f´´ (x) і маємо:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Тепер f´ (x) = 0, якщо і тільки якщо 4x (x + 2) (x - 1) = 0, і це відбувається, коли x = 0, x = 1 або x = - 2.

Щоб визначити, чи отримані критичні числа відносні крайності, достатньо оцінити при f´ і таким чином спостерігати за його знаком.

f´´ (0) = - 8, тому f (0) - локальний максимум.

f´´ (1) = 12, тому f (1) - локальний мінімум.

f´´ (- 2) = 24, тому f (- 2) - локальний мінімум.

Серія Тейлора

Нехай f - функція, визначена наступним чином:

Ця функція має радіус зближення R> 0 і має похідні всіх порядків у (-R, R). Послідовні похідні f дають нам:

Приймаючи x = 0, ми можемо отримати значення c _n як функції їх похідних таким чином:

Якщо взяти an = 0 як функцію f (тобто f ^ 0 = f), то можемо переписати функцію так:

Тепер розглянемо функцію як ряд потужностей при x = a:

Якщо ми проведемо аналіз, аналогічний попередньому, ми мали б можливість записувати функцію f як:

Ці серії відомі як серії Тейлора від f до a. Коли a = 0, ми маємо конкретний випадок, що називається рядом Маклауріна. Цей тип серій має велике математичне значення, особливо в числовому аналізі, оскільки завдяки цим ми можемо визначати функції в таких комп'ютерах, як e ^x , sin (x) та cos (x).

Приклад

Отримайте серію Маклауріна для e ^x .

Зауважимо, що якщо f (x) = e ^x , то f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x і f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, значить, його ряд Маклауріна:

Список літератури

1. Френк Айрес, Дж. Та Мендельсон, Е. (другого). Розрахунок 5ед. Mc Graw Hill.
2. Лейтхолд, Л. (1992). Розрахунок з аналітичною геометрією. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Розрахунок. Мексика: Пірсон освіта.
4. Saenz, J. (2005). Діференційне обчислення. Гіпотенуза.
5. Saenz, J. (nd). Інтегральне числення. Гіпотенуза.