ДОМЕН ТА СУПЕРЕЧЛИВІСТЬ ФУНКЦІЇ (ІЗ ПРИКЛАДАМИ) - МАТЕМАТИКА - 2025

Поняття доменної та протидоменної функції зазвичай викладаються на курсах числення, які викладаються на початку університетських ступенів.

Перш ніж визначити домен та суперечливість, ви повинні знати, що таке функція. Функція f - закон (правило) відповідності між елементами двох множин.

Набір, з якого обрані елементи, називається доменом функції, а набір, до якого ці елементи надсилаються через f, називається протидоменним.

У математиці функцію з доменом A і лічильником домену B позначають виразом f: A → B.

Попередній вираз говорить, що елементи множини A надсилаються до множини B відповідно до закону відповідності f.

Функція призначає кожному елементу множини A один елемент множини B.

Домен і суперечливість

Враховуючи реальну функцію реальної змінної f (x), ми маємо, що областю функції будуть всі ті дійсні числа, такі, що при оцінці в f результат є реальним числом.

Як правило, протидомен функції - це множина дійсних чисел R. Контрдомен називають також набором приходу або кодомейн функції f.

Чи суперечливість функції завжди R?

Ні. Поки функція не вивчена докладно, набір реальних чисел R зазвичай приймається за протидоменну область.

Але після того, як функція буде вивчена, більш прийнятний набір може бути прийнятий як протидомен, який буде підмножиною Р.

Власний набір, який згадувався в попередньому абзаці, відповідає зображенню функції.

Визначення зображення або діапазону функції f посилається на всі значення, які походять від оцінки елемента домену в f.

Приклади

Наступні приклади ілюструють, як обчислити область функції та її зображення.

Приклад 1

Нехай f - реальна функція, визначена f (x) = 2.

Область f - це всі дійсні числа такі, що при оцінці на f результат є реальним числом. Протиріччя на даний момент дорівнює Р.

Оскільки дана функція є постійною (завжди дорівнює 2), не має значення, яке реальне число обрано, оскільки при її оцінці в f результат завжди буде дорівнює 2, що є дійсним числом.

Тому областю даної функції є всі дійсні числа; тобто A = R.

Тепер, коли відомо, що результат функції завжди дорівнює 2, ми маємо, що зображення функції є лише числом 2, тому протидомен функції може бути переосмислений як B = Img (f) = {два}.

Тому f: R → {2}.

Приклад 2

Нехай g - реальна функція, визначена g (x) = √x.

Поки образ g не відомий, суперечливість g - B = R.

За допомогою цієї функції слід враховувати, що квадратні корені визначаються лише для негативних чисел; тобто для чисел, більших або рівних нулю. Наприклад, √-1 - не дійсне число.

Отже, областю функції g повинні бути всі числа, більші або дорівнюють нулю; тобто x ≥ 0.

Тому A = [0, + ∞).

Для обчислення діапазону слід зазначити, що будь-який результат g (x), оскільки це квадратний корінь, завжди буде більшим або дорівнює нулю. Тобто B = [0, + ∞).

На закінчення g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Приклад 3

Якщо у нас є функція h (x) = 1 / (x-1), маємо, що ця функція не визначена для x = 1, оскільки в знаменнику ми отримаємо нуль, а ділення на нуль не визначено.

З іншого боку, для будь-якого іншого реального значення результатом буде дійсне число. Тому домен - це всі реалі, крім однієї; тобто A = R \ {1}.

Таким же чином можна помітити, що єдине значення, яке не можна отримати в результаті, дорівнює 0, оскільки для дробу, який дорівнює нулю, чисельник повинен бути нульовим.

Отже, зображення функції - це безліч усіх дій, крім нуля, тому B = R \ {0} приймається як протиріччя.

На закінчення h: R \ {1} → R \ {0}.

Спостереження

Домен та зображення не повинні бути однаковим набором, як показано в Прикладах 1 та 3.

Коли функція схоплена на декартовій площині, домен представлений віссю X, а контрдомен або діапазон представлений віссю Y.

Список літератури

1. Флемінг, W., & Varberg, DE (1989). Математика дорахунку. Prentice Hall PTR.
2. Флемінг, W., & Varberg, DE (1989). Докалькульна математика: підхід до вирішення проблем (2, Ілюстрована редакція). Мічиган: Prentice Hall.
3. Флемінг, W., & Varberg, D. (1991). Алгебра та тригонометрія з аналітичною геометрією. Пірсон освіта.
4. Ларсон, Р. (2010). Попередній розрахунок (8 ред.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Плоска аналітична геометрія. Меріда - Венесуела: Редакція Венезолана Каліфорнія
6. Перес, CD (2006). Попередній розрахунок. Пірсон освіта.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Обчислення (дев. Ред.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Диференціальне обчислення з ранніми трансцендентними функціями для науки та техніки (видання другого видання). Гіпотенуза.
9. Скотт, Каліфорнія (2009). Декартова плоска геометрія, частина: Аналітичні коніки (1907) (перевидання ред.). Джерело блискавки
10. Салліван, М. (1997). Попередній розрахунок. Пірсон освіта.