ФАКТОРИНГ: МЕТОДИ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Розкладання є спосіб , з допомогою якого поліном виражається як множення факторів, які можуть бути цифри або букви , або обох. Враховуючи, що спільні для термінів фактори групуються, і таким чином поліном розкладається на кілька многочленів.

Таким чином, коли множники множимось разом, то виходить вихідний многочлен. Факторинг - це дуже корисний метод, коли ви маєте алгебраїчні вирази, оскільки його можна перетворити на множення декількох простих доданків; наприклад: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Є випадки, коли поліном не може бути врахований, оскільки між його умовами немає загального чинника; таким чином, ці алгебраїчні вирази поділяються лише на себе і на 1. Наприклад: x + y + z.

В алгебраїчному виразі загальний фактор є найбільшим спільним дільником доданків, які його складають.

Методи факторингу

Існує кілька методів факторингу, які застосовуються залежно від конкретного випадку. Деякі з них такі:

Факторинг за загальним фактором

У цьому методі виявляються загальні фактори, які є загальними; тобто ті, які повторюються в термінах виразу. Потім застосовується властивість розподілу, береться найбільший спільний дільник і завершується факторинг.

Іншими словами, ідентифікується загальний фактор виразу, і кожен термін ділиться ним; Отримані умови будуть помножені на найбільший спільний дільник для вираження факторизації.

Приклад 1

Фактор (b ² x) + (b ² y).

Рішення

Спочатку ви знаходите загальний множник кожного члена, який у даному випадку дорівнює ² , а потім розділяєте доданки на загальний множник так:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Факторизація виражається, помножуючи загальний коефіцієнт на отримані умови:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Приклад 2

Коефіцієнт (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Рішення

У цьому випадку у нас є два фактори, які повторюються в кожному терміні, які є "a" і "b", і які піднімаються до сили. Для їх розбиття два терміни спочатку розкладаються у довгому вигляді:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Видно, що фактор "а" повторюється лише один раз у другому члені, а фактор "b" повторюється в цьому двічі; тому в першому терміні залишається лише 2, коефіцієнт "а" і фактор "б"; тоді як у другому терміні залишається лише 3.

Тому часи, які повторюються "a" і "b", записуються і множать на коефіцієнти, що залишилися від кожного терміна, як показано на зображенні:

Групування факторингу

Оскільки не у всіх випадках найбільший спільний дільник многочлена чітко виражений, необхідно зробити інші кроки, щоб мати змогу переписати поліном і, таким чином, множину.

Одним із таких кроків є згрупування доданків многочлена на кілька груп, а потім використання методу загального фактора.

Приклад 1

Фактор ac + bc + ad + bd.

Рішення

Існує 4 фактори, де два є загальними: у першому терміні це «c», а в другому - «d». Таким чином, два терміни групуються та відокремлюються:

(ac + bc) + (ad + bd).

Тепер можна застосувати метод загального фактора, розділивши кожен додаток на його загальний коефіцієнт, а потім помноживши цей спільний множник на отримані умови, як от:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Тепер ми отримуємо двочлен, який є спільним для обох доданків. Для її розбиття множимо на інші фактори; таким чином ви повинні:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Інспекційний факторинг

Цей метод використовується для факторних квадратичних многочленів, які також називаються триномами; тобто ті, які структуровані як ax ² ± bx + c, де значення "a" відрізняється від 1. Цей метод застосовується також, коли тричлен має вигляд x ² ± bx + c та значення "a" = 1.

Приклад 1

Фактор x ² + 5x + 6.

Рішення

Маємо квадратичний тричлен виду x ² ± bx + c. Для його обчислення потрібно спершу знайти два числа, які при множенні дають в результаті значення «c» (тобто 6) і що їх сума дорівнює коефіцієнту «b», який дорівнює 5. Ці числа 2 і 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Таким чином вираз спрощується так:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Кожен термін враховується:

- Для (x ² + 2x) прийнятий загальний член: x (x + 2)

- Для (3x + 6) = 3 (x + 2)

Таким чином, вираз:

x (x +2) + 3 (x +2).

Оскільки у нас є двочлен, для зменшення виразу ми множимо це на решта членів і ми повинні:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Приклад 2

Фактор 4а ² + 12а + 9 = 0.

Рішення

Маємо квадратичний тричлен виду ax ² ± bx + cy для його множення, помноживши весь вираз на коефіцієнт x ² ; у цьому випадку 4.

4а ² + 12а +9 = 0

4а ² (4) + 12а (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Тепер ми повинні знайти два числа, які, множившись між собою, дають у результаті значення "с" (що становить 36) і які при додаванні разом дають в результаті коефіцієнт терміна "а", який дорівнює 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Таким чином вираз переписується, враховуючи, що 4 ² a ² = 4a _* 4a. Тому властивість розподілу застосовується для кожного терміна:

(4а + 6) _* (4а + 6).

Нарешті, вираз ділиться на коефіцієнт a ² ; тобто 4:

(4-й + 6) _* (4-й + 6) / 4 = ((4-й + 6) / 2) _* ((4-й + 6) / 2).

Вираз такий:

4а ² + 12а +9 = (2а +3) _* (2а + 3).

Факторинг із помітними продуктами

Бувають випадки, коли для повного розподілу поліномів вищезазначеними методами це стає дуже тривалим процесом.

Ось чому вираз може бути розроблений за допомогою формул чудових продуктів і, таким чином, процес стає простішим. Серед найбільш широко використовуваних помітних товарів:

- Різниця двох квадратів: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Ідеальний квадрат суми: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Ідеальний квадрат різниці: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- різниця двох кубів: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Сума двох кубів: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

Приклад 1

Коефіцієнт (5 ² - х ² )

Рішення

У цьому випадку є різниця двох квадратів; тому застосовується чудова формула продукту:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - х ² ) = (5 - х) _* (5 + х)

Приклад 2

Фактор 16x ² + 40x + 25 ²

Рішення

У цьому випадку ви маєте ідеальний квадрат суми, тому що ви можете виділити два терміни у квадраті, а термін, що залишився, є результатом множення двох на квадратний корінь першого члена, на квадратний корінь другого члена.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Для коефіцієнта обчислюються лише квадратні корені першого та третього доданків:

√ (16x ² ) = 4х

√ (25 ² ) = 5.

Тоді два результуючі доданки виражаються розділеними знаком операції, і весь многочлен розміщений у квадраті:

16х ² + 40х + 25 ² = (4х + 5) ² .

Приклад 3

Фактор 27а ³ - б ³

Рішення

Вираз являє собою віднімання, в якому куповані два фактори. Для їх розбиття застосовується формула для помітного добу різниці кубів, яка є:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Таким чином, для коефіцієнта береться кубиковий корінь кожного члена двочлена і множиться на квадрат першого члена, плюс добуток першого на другий доданок плюс другий доданок у квадрат.

27а ³ - б ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27а ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Факторинг за правилом Руффіні

Цей метод використовується, коли у вас многочлен градусного ступеня більше двох, щоб спростити вираз до кількох многочленів меншої міри.

Приклад 1

Фактор Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Рішення

Спочатку шукаємо числа, що діють на 12, це самостійний термін; Це ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 і ± 12.

Тоді х замінюється на ці значення, від найнижчих до найвищих, і таким чином визначається, на яке зі значень буде точним поділ; тобто залишок повинен бути 0:

х = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

х = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

х = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

І так далі для кожного дільника. У цьому випадку знайдені фактори при x = -1 і x = 2.

Тепер застосовується метод Руффіні, згідно з яким коефіцієнти виразу будуть ділити на знайдені фактори, щоб поділ був точним. Поліномічні члени упорядковані від найвищого до нижнього показника; у випадку, якщо в послідовності відсутній член із наступним ступенем, на його місце ставиться 0.

Коефіцієнти розташовані за схемою, як показано на наступному зображенні.

Перший коефіцієнт знижується і множується на дільник. У цьому випадку перший дільник дорівнює -1, а результат розміщується в наступному стовпчику. Потім значення коефіцієнта з отриманим результатом додається вертикально і результат розміщується внизу. Таким чином процес повторюється до останнього стовпця.

Потім та сама процедура повторюється знову, але з другим дільником (який 2), оскільки вираз все ще можна спростити.

Таким чином, для кожного отриманого кореня поліном буде мати термін (x - a), де "a" - значення кореня:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

З іншого боку, ці терміни повинні бути помножені на решту правил Ruffini 1: 1 і -6, які є чинниками, що представляють собою ступінь. У такий спосіб формується вираз: (x ² + x - 6).

Отримання результату факторизації многочлена методом Руффіні:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Нарешті, поліном ступеня 2, який з’являється в попередньому виразі, може бути переписаний як (x + 3) (x-2). Отже, остаточна факторизація:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Список літератури

1. Артур Гудман, LH (1996). Алгебра та тригонометрія з аналітичною геометрією. Пірсон освіта.
2. J, V. (2014). Як навчити дітей про фактор формування многочлена.
3. Мануель Морільо, AS (sf). Основна математика з додатками.
4. Roelse, PL (1997). Лінійні методи множення поліномів на кінцевих полях: теорія та реалізація. Universität Essen.
5. Шарп, Д. (1987). Кільця та факторизація.