ЧАСТКОВІ ДРОБИ: ВИПАДКИ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Ці часткові фракції є фракції , утворені многочленами, в яких знаменник може бути лінійним або квадратичним поліномом і, крім того, вона може бути збільшена до певної міри. Іноді, коли ми маємо раціональні функції, дуже корисно переписати цю функцію у вигляді суми часткових дробів або простих дробів.

Це тому, що таким чином ми можемо маніпулювати цими функціями кращим чином, особливо у випадках, коли необхідно інтегрувати вказане додаток. Раціональна функція - це просто коефіцієнт між двома поліномами, і вони можуть бути правильними або неправильними.

Якщо ступінь многочлена чисельника менше знаменника, це називається раціональною власною функцією; в іншому випадку вона відома як неправильна раціональна функція.

Визначення

Коли ми маємо неправильну раціональну функцію, ми можемо розділити поліном чисельника на поліном знаменника і, таким чином, переписати дріб p (x) / q (x), дотримуючись алгоритм поділу як t (x) + s (x) / q (x), де t (x) - поліном, а s (x) / q (x) - правильна раціональна функція.

Частковий дріб - це будь-яка належна функція многочленів, знаменник якої має вигляд (ax + b) ⁿ або (ax ² + bx + c) ⁿ , якщо многочлен ось ² + bx + c не має реальних коренів і n - число природні.

Для того, щоб переписати раціональну функцію в часткові дроби, перше, що потрібно зробити, - це визначити знаменник q (x) як добуток лінійних та / або квадратичних факторів. Як тільки це буде зроблено, визначаються часткові дроби, які залежать від характеру цих факторів.

Справи

Ми розглянемо кілька випадків окремо.

Випадок 1

Коефіцієнти q (x) всі лінійні і жоден не повторюється. Тобто:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ )… (a _s x + b _s )

Немає жодного лінійного фактора, ідентичного іншому. Коли цей випадок стане, ми напишемо:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ )… + A _s / (a _s x + b _s ).

Де A ₁ , A ₂ ,…, A _s - константи, які слід знайти.

Приклад

Ми хочемо розкласти раціональну функцію на прості дроби:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Переходимо до коефіцієнта знаменника, тобто:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Тоді:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Застосовуючи найменше загальне кратне, можна отримати, що:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Ми хочемо отримати значення констант A, B і C, які можна знайти, замінивши корені, які скасовують кожен із доданків. Підставляючи 0 на x, маємо:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2А

А = - 1/2.

Підставляючи - 1 для х маємо:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - В

B = 2.

Підставляючи - 2 для x, маємо:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2С

C = –3/2.

Таким чином отримуються значення A = –1/2, B = 2 і C = –3/2.

Існує ще один метод отримання значень A, B і C. Якщо з правого боку рівняння x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x ми поєднуємо терміни, маємо:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Оскільки це рівність многочленів, маємо, що коефіцієнти з лівої сторони повинні бути рівними коефіцієнтам на правій стороні. У результаті виходить така система рівнянь:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2А = - 1

Розв’язуючи цю систему рівнянь, отримуємо результати A = –1/2, B = 2 і C = -3/2.

Нарешті, замінюючи отримані значення, ми маємо, що:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Випадок 2

Коефіцієнти q (x) всі лінійні, а деякі повторюються. Припустимо, що (ax + b) - фактор, який повторює "s" часи; то до цього коефіцієнта відповідає сума часткових дробів «s».

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Де A _s , A _s-1 ,…, A ₁ - константи, які слід визначити. Наступним прикладом ми покажемо, як визначити ці константи.

Приклад

Розкласти на часткові дроби:

(х - 1) / (х ² (х - 2) ³ )

Раціональну функцію запишемо як суму парціальних дробів наступним чином:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2 ).

Тоді:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Підставляючи 2 для x, маємо, що:

7 = 4С, тобто С = 7/4.

Підставляючи 0 на x, маємо:

- 1 = –8A або A = 1/8.

Підставляючи ці значення в попереднє рівняння і розвиваючи, маємо, що:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) х - 1.

Рівняючи коефіцієнти, отримуємо таку систему рівнянь:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Вирішуючи систему, ми маємо:

В = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Для цього ми повинні:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (х - 2) ² - (3/16) / (х - 2).

Випадок 3

Фактори q (x) є лінійними квадратичними, без повторних квадратичних факторів. У цьому випадку квадратичний коефіцієнт (ax ² + bx + c) буде відповідати частковому дробу (Ax + B) / (ax ² + bx + c), де константи A і B визначаються.

Наступний приклад показує, як діяти в цьому випадку

Приклад

Розкласти на прості дроби a (x + 1) / (x ³ - 1).

Спочатку переходимо до фактору знаменника, що дає нам результат:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Ми можемо спостерігати, що (x ² + x + 1) - невідводимий квадратичний многочлен; тобто воно не має реальних коренів. Розкладання його на часткові дроби буде таким:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

З цього виходить таке рівняння:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Використовуючи рівність многочленів, отримуємо таку систему:

А + В = 0;

А-В + С = 1;

А-С = 1;

З цієї системи маємо, що A = 2/3, B = - 2/3 і C = 1/3. Підставляючи, ми маємо, що:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Випадок 4

Нарешті, випадок 4 - той, у якому коефіцієнти q (x) є лінійними та квадратичними, де деякі лінійні квадратичні фактори повторюються.

У цьому випадку, якщо (ax ² + bx + c) є квадратичним коефіцієнтом, який повторює "s" разів, то часткова частка, що відповідає коефіцієнту (ax ² + bx + c), буде:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (ось ² + bx + c) ^s

Де A _s , A _s-1 ,…, A і B _s , B _s-1 ,…, B - константи, які слід визначити.

Приклад

Ми хочемо розкласти наступну раціональну функцію на часткові дроби:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Оскільки х ² - 4х + 5 є невідворотним квадратичним коефіцієнтом, ми маємо, що його розкладання на часткові дроби задається:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Спрощуючи та розвиваючи, ми маємо:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

З вищесказаного маємо таку систему рівнянь:

А + В = 0;

- 8А - 4В + С = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40А + 5С + Е = 1;

25А = 2.

При вирішенні системи нам залишається:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 і E = - 3/5.

Підставляючи отримані значення, ми маємо:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4х + 5) ²

Програми

Інтегральне числення

Часткові фракції використовуються насамперед для дослідження інтегрального числення. Ось кілька прикладів того, як виконати інтеграли за допомогою часткових дробів.

Приклад 1

Ми хочемо обчислити інтеграл:

Ми можемо бачити, що знаменник q (x) = (t + 2) ² (t + 1) складається з лінійних факторів, де один з них повторюється; Ось чому ми знаходимось у випадку 2.

Ми мусимо:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Переписуємо рівняння і маємо:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Якщо t = - 1, маємо:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = С

Якщо t = - 2, це дає нам:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

А = - 1

Тоді, якщо t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Підміна значень A і C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2В

2В = - 2

Зі сказаного маємо, що B = - 1.

Інтеграл ми переписуємо так:

Ми переходимо до вирішення методу заміщення:

Це результат:

Приклад 2

Розв’яжіть наступний інтеграл:

У цьому випадку ми можемо множимо aq (x) = x ² - 4 як q (x) = (x - 2) (x + 2). Ми, безумовно, у випадку 1. Отже:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Він також може бути виражений як:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Якщо x = - 2, маємо:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

А якщо x = 2:

8 = А (4) + В (0)

А = 2

Таким чином, нам залишається розв’язання заданого інтеграла, рівнозначного розв’язуванню:

Це дає нам результат:

Приклад 3

Розв’яжіть інтеграл:

У нас q (x) = 9x ⁴ + x ² , який ми можемо розподілити на q (x) = x ² (9x ² + 1).

Цього разу у нас є повторний лінійний коефіцієнт і квадратичний коефіцієнт; тобто ми знаходимось у випадку 3.

Ми мусимо:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Групуючи та використовуючи рівні многочлени, ми маємо:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

А = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

З цієї системи рівнянь ми маємо:

D = - 9 і C = 0

Таким чином, ми маємо:

Вирішуючи вищесказане, ми маємо:

Закон масової дії

Цікаве застосування часткових дробів, застосованих до інтегрального числення, знаходимо в хімії, точніше в законі масової дії.

Припустимо, у нас є дві речовини - A і B, які з'єднуються разом і утворюють речовину C, так що похідна від кількості C по відношенню до часу пропорційна добутку кількостей A і B у будь-який момент часу.

Ми можемо висловити закон масової дії наступним чином:

У цьому виразі α - початкова кількість грам, що відповідає A і β, початкове число грам, відповідне B.

Крім того, r і s являють собою кількість грамів A і B відповідно, що поєднуються, утворюючи r + s грам С. константа пропорційності. Наведене рівняння можна переписати як:

Внесення наступних змін:

Маємо, що рівняння стає:

З цього виразу ми можемо отримати:

Де, якщо a ≠ b, для інтеграції можуть бути використані часткові дроби.

Приклад

Візьмемо для прикладу речовину C, яка виникає при поєднанні речовини A з B, таким чином, що виконується закон маси, коли значення a і b дорівнюють 8 і 6 відповідно. Дайте рівняння, яке дає нам значення грамів С як функції часу.

Підставляючи значення в даному законі про масу, ми маємо:

При розділенні змінних ми маємо:

Тут 1 / (8 - x) (6 - x) можна записати як суму парціальних дробів таким чином:

Таким чином, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Якщо підставити 6 на x, маємо B = 1/2; і підставляючи 8 на x, маємо A = - 1/2.

Інтегруючи часткові дроби, ми маємо:

Це дає нам результат:

Диференціальні рівняння: логістичне рівняння

Інша заявка, яку можна надати частковим дробам, знаходиться в логістичному диференціальному рівнянні. У простих моделях ми маємо, що темпи приросту населення пропорційні його розміру; тобто:

Цей випадок є ідеальним і вважається реалістичним, поки не станеться того, що наявних у системі ресурсів недостатньо для підтримки населення.

У цих ситуаціях найбільш розумним є думка, що існує максимальна потужність, яку ми будемо називати L, що система може підтримувати, і що темпи зростання пропорційні розміру населення, помноженому на наявний розмір. Цей аргумент призводить до наступного диференціального рівняння:

Цей вираз називається логістичним диференціальним рівнянням. Це відокремлене диференціальне рівняння, яке можна вирішити методом інтеграції часткової фракції.

Приклад

Прикладом може бути розгляд сукупності, яка зростає за наступним логістичним диференціальним рівнянням y '= 0,0004y (1000 - y), початкові дані якого 400. Ми хочемо знати, чисельність населення за час t = 2, де вимірюється t в роках.

Якщо ми запишемо y 'із позначенням Лейбніца як функції, що залежить від t, ми маємо:

Інтеграл з лівого боку може бути вирішений методом інтеграції часткової дроби:

Ми можемо переписати цю останню рівність так:

- Підставляючи y = 0, маємо, що A дорівнює 1/1000.

- Підставляючи y = 1000, маємо, що B дорівнює 1/1000.

З цими значеннями інтеграл виглядає наступним чином:

Рішення таке:

Використання вихідних даних:

При очищенні і ми маємо:

Тоді маємо, що при t = 2:

На закінчення, через 2 роки чисельність населення становить приблизно 597,37.

Список літератури

1. A, RA (2012). Математика 1. Universidad de los Andes. Рада публікацій.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 Розв’язані інтеграли. Національний експериментальний університет Тачіра.
3. Лейтхолд, Л. (1992). Розрахунок з аналітичною геометрією. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Розрахунок. Мексика: Пірсон освіта.
5. Saenz, J. (nd). Інтегральне числення. Гіпотенуза.