ТРАНСЦЕНДЕНТНІ ФУНКЦІЇ: ТИПИ, ВИЗНАЧЕННЯ, ВЛАСТИВОСТІ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

В елементарні функції трансцендентні є статечні, логарифмічні, тригонометричні, зворотні тригонометричні функції, гіперболічні і зворотні гіперболічні функції. Тобто вони є тими, які неможливо виразити за допомогою многочлена, коефіцієнта многочленів або коренів многочленів.

Неелементарні трансцендентні функції також відомі як спеціальні функції, і серед них можна назвати функцію помилок. Алгебраїчні функції (многочлени, частки многочленів і корені многочленів) разом з елементарними трансцендентальними функціями складають те, що в математиці називають елементарними функціями.

Трансцендентними функціями вважаються також ті, які є результатом операцій між трансцендентними функціями або між трансцендентними та алгебраїчними функціями. Цими операціями є: сума і різниця функцій, добуток і коефіцієнт функцій, а також склад двох і більше функцій.

Визначення та властивості

Експоненціальна функція

Це реальна функція реальної незалежної змінної форми:

f (x) = a ^ x = a ^x

де a - фіксоване додатне дійсне число (a> 0), яке називається базовим. Для позначення потенціюючої операції застосовується циркумфлекс або суперскрипт.

Скажімо, a = 2, тоді функція виглядає так:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Яке буде оцінено для кількох значень незалежної змінної x:

Нижче наведено графік, де експоненціальна функція представлена ​​для кількох значень бази, включаючи основу e (номер Непера e ≃ 2,72). База e настільки важлива, що загалом кажучи про експоненціальну функцію, яку ми думаємо про e ^ x, яку також позначають exp (x).

Малюнок 1. Експоненціальна функція a ^ x для різних значень бази a. (Власна розробка)

Властивості експоненціальної функції

З малюнка 1 видно, що областю експоненціальних функцій є дійсні числа (Dom f = R ), а діапазон або шлях - позитивні значення (Ran f = R ⁺ ).

З іншого боку, незалежно від значення бази а, всі експоненціальні функції проходять через точку (0, 1) і через точку (1, а).

Коли база a> 1, то функція зростає, а при 0 <a <1 функція зменшується.

Криві y = a ^ x і y = (1 / a) ^ x симетричні щодо осі Y.

За винятком випадку a = 1, експоненціальна функція є ін'єктивною, тобто кожному значенню зображення відповідає одне і лише одне вихідне значення.

Логарифмічна функція

Це реальна функція реальної незалежної змінної, заснованої на визначенні логарифму числа. Логарифм на основі числа x - це число y, до якого потрібно підняти базу, щоб отримати аргумент x:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Тобто на основі логарифмної функції лежить обернена функція експоненціальної функції, заснованої на.

Наприклад:

log ₂ 1 = 0, оскільки 2 ^ 0 = 1

Інший випадок, log ₂ 4 = 2, тому що 2 ^ 2 = 4

Корінний логарифм 2 - log ₂ √2 = ½, тому що 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, оскільки 2 ^ (- 2) = ¼

Нижче наведено графік функції логарифму в різних базах.

Малюнок 2. Експоненціальна функція для різних значень бази. (Власна розробка)

Властивості функції логарифму

Область функції логарифму y (x) = log a (x) - додатні дійсні числа R + . Діапазон переміщення або дійсні числа R .

Незалежно від основи, функція логарифму завжди проходить через точку (1,0), а точка (a, 1) належить графіку цієї функції.

У випадку, коли база a більша одиниці (a> 1), функція логарифму зростає. Але якщо (0 <a <1), то це функція, що спадає.

Функції синуса, косинуса і дотику

Функція синуса призначає дійсне число і кожному значенню x, де x являє собою міру кута в радіанах. Для отримання значення Sen (x) кута кут представлений у одиничному колі, а проекція зазначеного кута на вертикальну вісь є синусом, відповідним цьому куту.

Тригонометричне коло і синус для різних кутових значень X1, X2, X3 і X4 наведено нижче (на рисунку 3).

Малюнок 3. Тригонометричне коло та синус різних кутів. (Власна розробка)

Визначене таким чином, максимальне значення, яке може мати функція Sen (x), дорівнює 1, яке виникає, коли x = π / 2 + 2π n, де n - ціле число (0, ± 1, ± 2,). Мінімальне значення, яке може приймати функція Sen (x), виникає, коли x = 3π / 2 + 2π n.

Функція косинуса y = Cos (x) визначається аналогічно, але проекція кутових положень P1, P2 тощо проводиться на горизонтальну вісь тригонометричного кола.

З іншого боку, функція y = Tan (x) є коефіцієнтом між функцією синус і косинусом.

Нижче наведено графік трансцендентних функцій Sen (x), Cos (x) та Tan (x)

Рисунок 4. Графік трансцендентних функцій, синусів, косинусів і дотичних. (Власна розробка)

Похідні та інтеграли

Похідне від експоненціальної функції

Похідною y 'експоненціальної функції y = a ^ x є функція a ^ x, помножена на природний логарифм бази а:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

В конкретному випадку бази e похідна від експоненціальної функції є самою експоненціальною функцією.

Інтеграл експоненціальної функції

Неозначеним інтегралом ^ x є сама функція, поділена на природний логарифм основи.

В конкретному випадку основи e інтегралом експоненціальної функції є сама експоненціальна функція.

Таблиця похідних та інтегралів трансцендентних функцій

Нижче наведена зведена таблиця основних трансцендентних функцій, їх похідних та невизначених інтегралів (антидеривативів):

Таблиця похідних та невизначених інтегралів для деяких трансцендентних функцій. (Власна розробка)

Приклади

Приклад 1

Знайдіть функцію, що виходить із складу функції f (x) = x ^ 3 з функцією g (x) = cos (x):

(туман) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Його похідна та її невизначений інтеграл:

Приклад 2

Знайдіть склад функції g з функцією f, де g і f - функції, визначені в попередньому прикладі:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Слід зазначити, що склад функцій не є комутативною операцією.

Похідна та невизначений інтеграл для цієї функції відповідно:

Інтеграл було залишено вказаним, оскільки неможливо точно записати результат у вигляді комбінації елементарних функцій.

Список літератури

1. Обчислення єдиної змінної. Рон Ларсон, Брюс Х. Едвардс. Cengage Learning, 10 листопада 2008 рік
2. Теорема неявних функцій: історія, теорія та програми. Стівен Г. Кранц, Гарольд Р. Паркс. Springer Science & Business Media, 9 листопада. 2012 рік
3. Багатовимірний аналіз. Сатіш Ширалі, Харрішан Лал Васудева. Springer Science & Business Media, 13 грудня. 2010 рік
4. Динаміка системи: моделювання, моделювання та управління мехатронними системами. Дін К. Карнопп, Дональд Л. Марголіс, Рональд К. Розенберг. John Wiley & Sons, 7 березня 2012 рік
5. Підрахунок: математика та моделювання. Вільям Болдрі, Джозеф Р. Фідлер, Френк Р. Джордано, Ед Лоді, Рік Вітрай. Аддісон Веслі Лонгман, 1 січня 1999 рік
6. Вікіпедія. Трансцендентна функція. Відновлено з: es.wikipedia.com