ГЕПТАДЕКАГОН: ВЛАСТИВОСТІ, ДІАГОНАЛІ, ПЕРИМЕТР, ПЛОЩА - МАТЕМАТИКА - 2024

Правильний сімнадцятикутник є правильний багатокутник з 17 сторонами і 17 вершин. Її побудова може бути виконана в евклідовому стилі, тобто, використовуючи лише лінійку і компас. Саме великий математичний геній Карл Фрідріх Гаус (1777-1855), ледве 18 років, знайшов процедуру його побудови в 1796 році.

Мабуть, Гаус завжди був дуже схильний до цієї геометричної фігури, настільки, що з дня відкриття її конструкції він вирішив стати математиком. Кажуть також, що він хотів, щоб на його надгробку був вигравірований гептадекагон.

Малюнок 1. Гептадекагон - це регулярний многокутник із 17 сторонами та 17 вершинами. Джерело: Ф. Сапата.

Гаусс також знайшов формулу, щоб визначити, які регулярні багатокутники мають можливість будуватися з лінійкою і компасом, оскільки деякі не мають точної евклідової побудови.

Характеристика гептадекагону

Щодо його характеристик, як і будь-якого багатокутника, важлива сума його внутрішніх кутів. У звичайному многокутнику з n сторін сума задається:

Ця сума, виражена в радіанах, виглядає приблизно так:

З наведених формул можна легко зробити висновок, що кожен внутрішній кут шестидесятикутника має точну міру α, задану:

Звідси випливає, що внутрішній кут приблизно дорівнює:

Діагоналі та периметр

Діагоналі та периметр - інші важливі аспекти. У будь-якому багатокутнику кількість діагоналей дорівнює:

D = n (n - 3) / 2, а у випадку з гептадекагоном, як n = 17, ми маємо, що D = 119 діагоналей.

З іншого боку, якщо довжина кожної сторони гептадекагона відома, то периметр правильного гептадекагона знаходимо просто шляхом додавання в 17 разів більшої довжини, або що еквівалентно 17-кратній довжині d кожної сторони:

Р = 17 д

Периметр півмісяця

Іноді відомий лише радіус r гептадекагону, тому необхідно розробити формулу для цього випадку.

З цією метою вводиться поняття апотема. Апофема - відрізок, який йде від центру регулярного многокутника до середини однієї сторони. Апотема відносно однієї сторони перпендикулярна до цієї сторони (див. Рисунок 2).

Малюнок 2. Показані частини правильного многокутника з радіусом r та його апотемою. (Власна розробка)

Крім того, апотема є бісектрисою кута з центральною вершиною та сторонами на двох послідовних вершинах багатокутника, це дозволяє знайти співвідношення між радіусом r та стороною d.

Якщо центральний кут DOE називається β і зважаючи на те, що апотема OJ є бісектрисою, маємо EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), з якого ми маємо співвідношення для пошуку довжини d сторони многокутника відомий його радіус r та його центральний кут β:

d = 2 r Sen (β / 2)

У випадку з гептадекагоном β = 360º / 17 маємо:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Нарешті, виходить формула периметра гептадекагону, відомий його радіус:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475 r

Периметр гептадекагона близький до периметра окружності, яка його обписує, але його значення менше, тобто периметр описаного кола дорівнює Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

Площа

Для визначення площі гептадекагона ми звернемось до малюнка 2, де показані сторони та апотема правильного многокутника з n сторін. На цьому малюнку трикутник EOD має площу, рівну основі d (сторона многокутника), кратній висоті a (апотема багатокутника), поділеній на 2:

Площа EOD = (dxa) / 2

Отже, знаючи апотему а гептадекагону та сторони d того самого, його площа є:

Площа гептадекагону = (17/2) (dxa)

Площа, надана збоку

Щоб отримати формулу площі гептадекагона, знаючи довжину його сімнадцяти сторін, необхідно отримати залежність між довжиною апофему a і стороною d.

З посиланням на фіг.2, виходить таке тригонометричне відношення:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, де β - центральний кут DOE. Тож апотему a можна обчислити, якщо довжина d сторони многокутника та центральний кут β відомі:

a = (d / 2) котан (β / 2)

Якщо цей вираз тепер заміщений апотемою, у формулі для площі гептадекагону, отриманій у попередньому розділі, маємо:

Площа гептадекагону = (17/4) (d ² ) Котан (β / 2)

Будучи β = 360º / 17 для гептадекагону, тому ми, нарешті, маємо бажану формулу:

Площа гептадекагону = (17/4) (d ² ) Котан (180º / 17)

Площа, задана радіусом

У попередніх розділах було знайдено співвідношення між стороною d регулярного многокутника та його радіусом r, причому це співвідношення було таким:

d = 2 r Sen (β / 2)

Цей вираз для d вставляється у вираз, отриманий у попередньому розділі для області. Якщо здійснюються відповідні заміни та спрощення, виходить формула, яка дозволяє обчислити площу гептадекагону:

Площа гептадекагону = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Приблизним виразом для області є:

Площа гептадекагону = 3.0706 (r ² )

Як очікувалося, ця площа трохи менше площі кола, що описує гептадекагон A _circ = π r ² ≈ 3,1416 r ² . Якщо бути точним, це на 2% менше, ніж у його описаного кола.

Приклади

Приклад 1

Щоб відповісти на запитання, потрібно пам’ятати про співвідношення між стороною та радіусом правильного n-однобічного багатокутника:

d = 2 r Sen (180º / n)

Для гептадекагону n = 17, так що d = 0,3675 r, тобто радіус гептадекагона r = 2 см / 0,3675 = 5,4423 см або

10,8844 см в діаметрі.

Периметр 2-сантиметрового бічного шестидесятикутника дорівнює P = 17 * 2 см = 34 див.

Приклад 2

Ми повинні посилатися на формулу, показану в попередньому розділі, яка дозволяє нам знайти площу гептадекагона, коли вона має довжину d своєї сторони:

Площа гептадекагону = (17/4) (d ² ) / Тан (180º / 17)

Підставляючи d = 2 см у попередній формулі, отримуємо:

Площа = 90,94 див

Список літератури

1. CEA (2003). Елементи геометрії: з вправами та геометрією циркуля. Університет Медельїна.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Математика 2. Групова редакційна патрія.
3. Фрід, К. (2007). Відкрийте для себе багатокутники. Benchmark Education Company.
4. Гендрик, В. (2013). Узагальнені багатокутники. Birkhäuser.
5. ІГЕР. (sf). Математика Перший семестр Tacaná. ІГЕР.
6. Молодша геометрія (2014). Полігони. Lulu Press, Inc.
7. Міллер, Херен та Хорнсбі. (2006). Математика: міркування та програми (десяте видання). Пірсон освіта.
8. Патіньо, М. (2006). Математика 5. Редакційний прогрес.
9. Сада, М. 17-гранний регулярний багатокутник з лінійкою та компасом. Відновлено з: geogebra.org
10. Вікіпедія. Гептадекагон. Відновлено з: es.wikipedia.com