МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА: ПОХОДЖЕННЯ, ТЕ, ЩО ВОНА ВИВЧАЄ, ТИПИ - МАТЕМАТИКА

Математична логіка або символічна логіка є математичний мову , який охоплює інструменти , через які можна підтвердити або спростувати математичні міркування.

Добре відомо, що в математиці немає двозначностей. Враховуючи математичний аргумент, він або дійсний, або просто його немає. Він не може бути помилковим і правдивим водночас.

Особливим аспектом математики є те, що вона має формальну і сувору мову, за допомогою якої можна визначити обґрунтованість аргументу. Що це робить певні міркування чи будь-який математичний доказ неспростовними? Ось в чому полягає математична логіка.

Таким чином, логіка - це дисципліна математики, яка відповідає за вивчення математичних міркувань та доказів та надання інструментів, щоб можна було зробити правильний висновок з попередніх тверджень чи пропозицій.

Для цього використовуються аксіоми та інші математичні аспекти, які будуть розроблені пізніше.

Походження та історія

Точні дати стосовно багатьох аспектів математичної логіки є невизначеними. Однак більшість бібліографій з цього приводу простежують її походження до Стародавньої Греції.

Арістотель

Початок суворого трактування логіки покладається частково на Арістотеля, який написав набір праць логіки, які згодом були складені та розроблені різними філософами та вченими до середньовіччя. Це можна вважати "старою логікою".

Пізніше, у відомій як Сучасна епоха, Лейбніц, рухався глибоким бажанням створити універсальну мову, щоб математично міркувати, та інші математики, такі як Готтлоб Фреге та Джузеппе Пеано, помітно вплинули на розвиток математичної логіки з великим внеском , серед них аксіоми Піано, які формулюють незамінні властивості натуральних чисел.

Математики Джордж Бул та Георг Кантор також мали великий вплив у цей час, маючи важливий внесок у таблиці теорій і істин, висвітлюючи, серед інших аспектів, булеву алгебру (Джордж Бул) та аксіому вибору (Джордж Кантор).

Існує також Август Де Морган із відомими законами Моргана, які розглядають заперечення, сполучники, диз'юнкції та умовності між пропозиціями, ключі до розвитку символічної логіки та Джон Венн із відомими діаграмами Венна.

У 20 столітті, приблизно між 1910 та 1913 роками, Бертран Рассел та Альфред Норт Уайтхед виділяються своїм виданням Principia mathematica - набором книг, які збирають, розробляють і постулюють низку аксіом та результатів логіки.

Що вивчає математична логіка?

Пропозиції

Математична логіка починається з вивчення пропозицій. Пропозиція - це твердження, яке можна сказати без будь-якої неоднозначності, є правдивим чи ні. Нижче наведено приклади пропозицій:

2 + 4 = 6.
5 ² = 35.
У 1930 році в Європі стався землетрус.

Перше - це правдиве твердження, а друге - помилкове твердження. По-третє, навіть незважаючи на те, що людина, яка її читає, не знає, правда це чи негайно, це твердження, яке може бути перевірено і визначити, чи дійсно це сталося чи ні.

Нижче наведено приклади виразів, які не є пропозиціями:

Вона блондинка.
2x = 6.
Давай грати!
Вам подобаються фільми

У першій пропозиції не вказано, хто "вона", тому нічого не можна стверджувати. У другій пропозиції те, що означає "x", не було визначено. Якщо б замість цього було сказано, що 2x = 6 для якогось натурального числа x, то в цьому випадку це буде відповідати пропозиції, насправді істинному, оскільки для x = 3 воно виконується.

Останні два твердження не відповідають судженням, оскільки немає ніякого способу спростувати або підтвердити їх.

Дві або більше пропозицій можна поєднувати (або з'єднувати) за допомогою відомих логічних сполучників (або сполучників). Це:

Заперечення: "Не йде дощ".
Диз'юнкція: "Луїза купила білий або сірий мішок".
Сполучення: "4 ² = 16 і 2 × 5 = 10".
Умовно: "Якщо буде дощ, то я сьогодні не піду в спортзал".
Двозначний: "Я сьогодні вдень ходжу в тренажерний зал, і лише тоді, якщо не дощить".

Пропозиція, яка не має жодного з попередніх сполучників, називається простою (або атомною) пропозицією. Наприклад, "2 менше 4" - це проста пропозиція. Пропозиції, які мають деяку сполучну форму, називаються складеними пропозиціями, такими як "1 + 3 = 4 і 4 - парне число".

Заяви, зроблені за допомогою пропозицій, як правило, довгі, тому їх нудно завжди писати так, як це було показано дотепер. З цієї причини використовується символічна мова. Пропозиції зазвичай представлені великими літерами, такими як P, Q, R, S тощо. І символічні сполучники наступні:

Так що

Зворотне умовного судження

є пропозиція

І протилежну (або протилежну ) пропозицію

є пропозиція

Таблиці правди

Іншим важливим поняттям логіки є концепція таблиць істини. Значення істинності пропозиції - це дві можливості для пропозиції: істинна (яку буде позначати V, і буде сказано, що її значення істинності V), або помилкова (що буде позначатися через F і буде сказано, що її значення дійсно F).

Значення істинності складеного пропозиції залежить виключно від значень істинності простих пропозицій, що з’являються в ньому.

Для більш загальної роботи ми розглянемо не конкретні пропозиції, а пропозиції змінних p, q, r, s тощо, які представлятимуть будь-які пропозиції.

За допомогою цих змінних та логічних сполучників формуються відомі формули пропозицій так само, як будуються складні пропозиції.

Якщо кожну зі змінних, що з’являються у формулі пропозиції, замінити пропозицію, виходить складна пропозиція.

Нижче наведено таблиці правдивості для логічних сполучників:

Існують запропоновані формули, які отримують лише значення V у своїй таблиці істинності, тобто останній стовпець їх таблиці істинності має лише значення V. Ці типи формул відомі як тавтології. Наприклад:

Далі наведена таблиця істинності формули

Кажуть, що формула α логічно має на увазі іншу формулу β, якщо α істинна кожного разу, коли β є істинним. Тобто, у таблиці істинності α і β рядки, де α має V, β також має V. Нас цікавлять лише ті рядки, у яких α має значення V. Позначення для логічної імплікації таке :

Наступна таблиця підсумовує властивості логічного імплікації:

Кажуть, що дві формули пропозицій є логічно еквівалентними, якщо таблиці їх правдивості однакові. Для вираження логічної еквівалентності використовується наступне позначення:

Наступні таблиці узагальнюють властивості логічної еквівалентності:

Види математичної логіки

Існують різні типи логіки, особливо якщо серед інших областей враховувати прагматичну чи неформальну логіку, яка вказує на філософію.

Що стосується математики, типи логіки можна було б узагальнити як:

Формальна або арістотелівська логіка (антична логіка).
Логіка пропозиції: вона відповідає за вивчення всього, що стосується обґрунтованості аргументів і пропозицій, використовуючи формальну та символічну мову.
Символічна логіка: орієнтована на вивчення множин та їх властивостей, також з формальною та символічною мовою, і глибоко пов'язана з логікою пропозицій.
Комбінаторна логіка: одна з останніх розроблених, передбачає результати, які можна розробити за допомогою алгоритмів.
Логічне програмування: використовується в різних пакетах та мовах програмування.

Області

Серед напрямків, які використовують математичну логіку неодмінно при розробці своїх міркувань і аргументів, виділяються філософія, теорія множин, теорія чисел, алгебраїчна конструктивна математика та мови програмування.

Список літератури

Ейлвін, КС (2011). Логіка, набори та числа. Меріда - Венесуела: Рада з публікацій, Університет де Лос-Анд.
Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Вступ до теорії чисел. EUNED.
Castañeda, S. (2016). Основний курс теорії чисел. Північний університет.
Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Як розвивати математичне логічне обґрунтування. Університетське видавництво.
Сарагоса, AC (sf). Теорія чисел Редакційне бачення Libros.

МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА: ПОХОДЖЕННЯ, ТЕ, ЩО ВОНА ВИВЧАЄ, ТИПИ - МАТЕМАТИКА - 2024