НОМЕР ЕЙЛЕРА АБО НОМЕР E: СКІЛЬКИ ЦЕ КОШТУЄ, ВЛАСТИВОСТІ, ПРОГРАМИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Число Ейлера чи число е - відома математична константа, яка часто з'являється у численних наукових та економічних програмах, поряд із числом π та іншими важливими числами в математиці.

Науковий калькулятор повертає наступне значення для числа e:

Малюнок 1. Число Ейлера часто з'являється в науці. Джерело: Ф. Сапата.

e = 2.718281828 …

Але відомо багато інших десяткових знаків, наприклад:

e = 2.71828182845904523536…

А сучасні комп’ютери знайшли трильйони десяткових знаків для числа e.

Це ірраціональне число, що означає, що воно має нескінченну кількість десяткових знаків без жодного повторюваного малюнка (послідовність 1828 з'являється двічі на початку і більше не повторюється).

А це також означає, що число e не може бути отримане як коефіцієнт двох цілих чисел.

Історія

Число е було визначено вченим Жак Бернуллі в 1683 р., Коли він вивчав проблему складних інтересів, але раніше це опосередковано з'являлось у роботах шотландського математика Джона Нап'є, який винайшов логарифми близько 1618 року.

Однак саме Леонгард Ейлер у 1727 році дав йому ім’я номер e та інтенсивно вивчив його властивості. Ось чому його також називають числом Ейлера, а також як природну основу для природних логарифмів (показника), які в даний час використовуються.

Скільки коштує число е?

Число e варто:

e = 2.71828182845904523536…

Еліпсис означає, що існує нескінченна кількість десяткових знаків і насправді, з сучасних комп'ютерів відомо мільйони.

Представлення числа е

Існує кілька способів визначення e, які ми опишемо нижче:

Число e як межа

Одним із різних способів вираження числа e є той, який вчений Бернуллі знайшов у своїх роботах про складний інтерес:

У якому ви повинні зробити значення n дуже великою кількістю.

Легко перевірити за допомогою калькулятора, що коли n дуже великий, попередній вираз має тенденцію до значення e, наведеного вище.

Звичайно, ми можемо запитати себе, як можна зробити великі n, тому давайте спробуємо круглі цифри, як, наприклад, такі:

n = 1000; 10 000 або 100 000

У першому випадку ми отримуємо e = 2.7169239…. У другому e = 2.7181459…, а в третьому - це набагато ближче до значення e: 2.7182682. Ми вже можемо уявити, що при n = 1 000 000 або більше наближення буде ще кращим.

Математичною мовою процедура зближення і наближення дуже великого значення називається межею нескінченності і позначається так:

Для позначення нескінченності використовується символ "∞".

Число е як сума

Також можна визначити число e за допомогою цієї операції:

Цифри, що знаходяться в знаменнику: 1, 2, 6, 24, 120 … відповідають операції n !, де:

І за визначенням 0! = 1.

Неважко перевірити, що чим більше доданих доданків, тим точніше досягається число e.

Давайте зробимо кілька тестів з калькулятором, додаючи все більше і більше доповнень:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Чим більше доданих до суми термінів, тим більше результат нагадує е.

Математики створили компактне позначення цих сум, що включає багато термінів, використовуючи символ підсумовування Σ:

Цей вираз читається приблизно так: "сума від n = 0 до нескінченності 1 між n факторіальними".

Число е з геометричної точки зору

Число е має графічне зображення, пов'язане з площею під графіком кривої:

у = 1 / х

Коли значення x знаходяться між 1 і e, ця площа дорівнює 1, як показано на наступному малюнку:

Малюнок 2. Графічне зображення числа e: площа під кривою 1 / x, між x = 1 і x = e, має значення 1. Джерело: Ф. Сапата.

Властивості числа e

Деякі властивості числа e:

- Це ірраціонально, іншими словами, його не можна отримати просто діленням двох цілих чисел.

-Число е - також трансцендентне число, що означає, що е не є рішенням жодного поліномного рівняння.

- Це пов'язано з чотирма іншими відомими числами в галузі математики, а саме: π, i, 1 і 0, через тотожність Ейлера:

-Такі звані складні числа можна виразити через е.

—То є основою природних або природних логарифмів сучасності (оригінальне визначення Джона Неп'єра дещо відрізняється).

-Це єдине число, таке, що його природний логарифм дорівнює 1, тобто:

Програми

Статистика

Число е з'являється дуже часто в області вірогідності та статистики, з'являючись у різних розподілах, таких як нормальний або гауссовий, пуассонівський та інші.

Техніка

В техніці це часто, оскільки експоненціальна функція y = e ^x присутня, наприклад, в механіці та електромагнетизмі. Серед багатьох застосувань ми можемо відзначити:

-Кабель або ланцюг, який висить утримується кінцями, приймає форму кривої, задану:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

-Початково розряджений конденсатор C, який послідовно з'єднаний з резистором R і джерелом напруги V для заряду, набуває певного заряду Q у залежності від часу t, заданого:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC} )

біологія

Експоненціальна функція y = Ae ^Bx , з постійними A і B, використовується для моделювання росту клітин та росту бактерій.

Фізичні

У ядерній фізиці радіоактивний розпад та визначення віку моделюються за допомогою радіовуглецевого датування.

Економіка

При розрахунку складних відсотків число e виникає природним шляхом.

Припустимо, у вас є певна сума P _o, щоб інвестувати під процентну ставку i% на рік.

Якщо ви залишите гроші на 1 рік, після цього у вас буде:

Через ще один рік, не торкаючись цього, у вас буде:

І продовжуючи таким чином протягом n років:

Тепер згадаємо одне з визначень e:

Це трохи схоже на вираз для P, тому повинні бути стосунки.

Ми будемо розподіляти номінальну процентну ставку i на n періодів часу, таким чином складна процентна ставка буде i / n:

Цей вираз трохи більше схожий на нашу межу, але він все ще не зовсім такий.

Однак після деяких алгебраїчних маніпуляцій можна показати, що, зробивши цю зміну змінної:

Наші гроші P стають:

А те, що є між дужками, навіть якщо воно написане буквою h, дорівнює аргументу межі, що визначає число e, відсутній лише межа.

Зробимо h → ∞, а те, що знаходиться між дужками, стає числом e. Це не означає, що нам доведеться чекати нескінченно довго, щоб вивести наші гроші.

Якщо ми придивимось уважно, зробивши h = n / i і прагнучи до ∞, то, що ми насправді зробили, - це поширення процентної ставки на дуже, дуже малі періоди часу:

i = н / год

Це називається безперервним складанням. У такому випадку кількість грошей легко підраховується так:

Де я - річна процентна ставка. Наприклад, при внесенні 12 євро під 9% на рік шляхом постійної капіталізації після одного року у вас є:

З прибутком 1,13 євро.

Список літератури

1. Насолоджуйтесь математикою. Складний інтерес: Періодичний склад. Відновлено з: enjolasmatematicas.com.
2. Фігера, Ж. 2000. Математика 1-е. Різноманітний. Видання CO-BO
3. Гарсія, М. Число е в елементарному обчисленні. Відновлено з: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Хіменес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
5. Ларсон, Р. 2010. Розрахунок змінної. 9-й. Видання. McGraw Hill.