РІЗНИЦЯ КУБІВ: ФОРМУЛИ, РІВНЯННЯ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Різниця кубів є біноміальним алгебраїчним виразом вигляду а ³ - Ь ³ , де умова А і В можуть бути дійсними числами або алгебраїчними виразами різних типів. Прикладом різниці кубів є: 8 - x ³ , оскільки 8 можна записати як 2 ³ .

Геометрично ми можемо уявити великий куб, зі стороною a, з якого віднімається маленький куб зі стороною b, як показано на малюнку 1:

Малюнок 1. Різниця кубів. Джерело: Ф. Сапата.

Об'єм отриманої цифри - саме різниця кубів:

V = a ³ - b ³

Щоб знайти альтернативний вираз, помічено, що ця цифра може бути розкладена на три призми, як показано нижче:

Малюнок 2. Різниця кубів (зліва від рівності) дорівнює сумі часткових об'ємів (праворуч). Джерело: Ф. Сапата.

Призма має об'єм, заданий твором трьох її розмірів: ширина х висота х глибина. Таким чином, отриманий об'єм:

V = a ³ - b ³ = a ² .b + b ³ + ab ²

Фактор b є загальним праворуч. Крім того, на малюнку, показаному вище, особливо вірно, що:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Тому можна сказати, що: b = a - b. Таким чином:

Цей спосіб вираження різниці кубів виявиться дуже корисним у багатьох додатках і був би отриманий таким же чином, навіть якби сторона відсутнього куба у куті була різною від b = a / 2.

Зауважимо, що другі круглі дужки дуже нагадують помітний добуток квадрата суми, але перехресний член не помножується на 2. Читач може розгорнути праву частину, щоб переконатися, що дійсно отримано ³ - b ³ .

Приклади

Існує кілька відмінностей кубів:

1 - м ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² і ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

Давайте проаналізуємо кожну з них. У першому прикладі 1 можна записати як 1 = 1 ^3, а додаток m ⁶ стає: (m ² ) ³ . Обидва терміни є ідеальними кубиками, тому їх різниця:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

У другому прикладі умови переписуються:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Різниця цих кубів становить: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Нарешті, частка (1/125) дорівнює (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ^3, а y ⁹ = (y ³ ) ³ . Підмінивши все це початковим виразом, ви отримаєте:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Розбиття різниці кубів

Розподіл різниці кубів спрощує багато алгебраїчних операцій. Для цього просто використовуйте формулу, викладену вище:

Малюнок 3. Факторизація різниці кубів та вираження чудового коефіцієнта. Джерело: Ф. Сапата.

Тепер процедура застосування цієї формули складається з трьох етапів:

- В першу чергу виходить кубиковий корінь кожного з доданих відмінностей.

- Тоді будуються двочлен і тричлен, які з’являються у правій частині формули.

- Нарешті, двочлен і тричлен замінюються для отримання остаточної факторизації.

Проілюструємо використання цих етапів у кожному з прикладів різниці кубів, запропонованих вище, і таким чином отримаємо його фактичний еквівалент.

Приклад 1

Фактор вираження 1 - m ⁶ виконуючи описані кроки. Почнемо, переписавши вираз як 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ^3, щоб витягти відповідні кубічні корені кожного члена:

Далі будуються двочлен і тричлен:

a = 1

b = m ²

Так:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Нарешті, він заміщений у формулі a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

Приклад 2

Розділити фактор:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

Оскільки це ідеальні кубики, корені куба є негайними: ² b та 2z ⁴ і ² , звідси випливає, що:

- двочлен: a ² b - 2z ⁴ і ²

- тричлен: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

А тепер будується бажана факторизація:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

В принципі, факторинг готовий, але часто необхідно спрощувати кожен термін. Потім розробляється чудовий продукт - квадрат суми, що з’являється в кінці, а потім додаються подібні терміни. Пам'ятаючи, що квадрат суми дорівнює:

Помітний продукт праворуч розвинений так:

(a ² b + 2z ⁴ і ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ і ² + 4z ⁸ і ⁴

Заміна розширення, отриманого при факторизації різниці кубів:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Нарешті, згрупувавши як терміни і розбивши числові коефіцієнти, які є парними, ми отримаємо:

(a ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Приклад 3

Факторинг (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ набагато простіше, ніж у попередньому випадку. Спочатку визначаються еквіваленти a і b:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Тоді вони безпосередньо заміщені у формулі:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ =.

Вправа вирішена

Різниця кубів має, як ми вже говорили, різноманітність застосувань в алгебрі. Давайте подивимось кілька:

Вправа 1

Розв’яжіть такі рівняння:

а) х ⁵ - 125 х ² = 0

б) 64 - 729 х ³ = 0

Рішення для

Спочатку рівняння враховується таким чином:

x ² (x ³ - 125) = 0

Оскільки 125 є ідеальним кубом, дужки записуються як різниця кубів:

х ² . (х ³ - 5 ³ ) = 0

Перше рішення - x = 0, але ми знайдемо більше, якщо складемо x ³ - 5 ³ = 0, то:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Рішення b

Ліва частина рівняння переписується як 64 - 729 х ³ = 4 ³ - (9х) ³ . Таким чином:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Оскільки показник такий самий:

9x = 4 → x = 9/4

Вправа 2

Фактор вираження:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Рішення

Цей вираз є різницею кубів, якщо у формулі факторингу зазначимо, що:

a = x + y

b = x- y

Тоді спочатку будується двочлен:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

А тепер тричлен:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Помітна продукція розробляється:

Далі ви повинні замінити та зменшити такі терміни:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Результати факторингу:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ² )

Список літератури

1. Бальдор, А. 1974. Алгебра. Редакційна культурна венезолана С.А.
2. Фонд CK-12. Сума та різниця кубів. Відновлено з: ck12.org.
3. Академія хана. Факторинг різниць кубів. Відновлено: es.khanacademy.org.
4. Math is Fun Advanced. Різниця в два кубики. Відновлено з: mathsisfun.com
5. УНАМ. Розбиття різниці кубів. Відновлено з: dcb.fi-c.unam.mx.