ENEAGON: ВЛАСТИВОСТІ, ЯК ЗРОБИТИ ЕНЕАГОН, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА

Enegon є багатокутник з дев'яти сторін і дев'яти вершин, які можуть або не можуть бути регулярними. Назва eneágono походить від грецької мови і складається з грецьких слів ennea (дев'ять) та gonon (кут).

Альтернативною назвою для дев'ятибічного багатокутника є нонагон, що походить від латинського слова nonus (дев'ять) та gonon (вершина). З іншого боку, якщо сторони або кути енеагона неоднакові один до одного, то у вас неправильний енеагон. Якщо, з іншого боку, всі дев'ять сторін і дев'ять кутів енеагона рівні, то це звичайний енеагон.

Малюнок 1. Регулярний енеагон і нерегулярний енеагон. (Власна розробка)

Властивості енеагону

Для багатокутника з n сторонами сума його внутрішніх кутів дорівнює:

(n - 2) * 180º

У енегоні це було б n = 9, тому сума його внутрішніх кутів дорівнює:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

У будь-якому багатокутнику кількість діагоналей дорівнює:

D = n (n - 3) / 2, а у випадку енегона, оскільки n = 9, то маємо D = 27.

Регулярний енегон

У звичайному енагоні або нонагоні є дев'ять (9) внутрішніх кутів рівної міри, тому кожен кут вимірює одну дев'яту частину від загальної суми внутрішніх кутів.

Тоді міра внутрішніх кутів енегона становить 1260º / 9 = 140º.

Малюнок 2. Апотема, радіус, сторони, кути та вершини правильного енеагона. (Власна розробка)

Для отримання формули для області звичайного енегона зі стороною d зручно виготовити деякі допоміжні конструкції, такі, як показано на малюнку 2.

Центр O знаходимо шляхом відстеження бісектрис двох сусідніх сторін. Центр O, рівновіддалений від вершин.

Радіус довжини r - відрізок від центру O до вершини енегона. На малюнку 2 показані радіуси OD і OE довжини r.

Апотема - відрізок, який йде від центру до середини однієї сторони енегона. Наприклад, OJ - апофем, довжина якого дорівнює a.

Площа енегона відома сторона та апотем

Розглянемо трикутник ODE на рисунку 2. Площа цього трикутника є добутком його основи DE, а висота OJ ділиться на 2:

Площа ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Оскільки в енегоні є 9 трикутників однакової площі, то робиться висновок, що площа однакової дорівнює:

Площа Енегона = (9/2) (d * a)

Площа відомого енегона збоку

Якщо відома лише довжина d сторін енегона, тоді необхідно знайти довжину апотему, щоб застосувати формулу в попередньому розділі.

Розглянемо правильний трикутник OJE у J (див. Рисунок 2). Якщо застосувати дотичне тригонометричне відношення, отримаємо:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Кут ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, оскільки EO є бісектрисою внутрішнього кута енегона.

З іншого боку, OJ - апофем довжини a.

Тоді, оскільки J є серединою ЕД, то випливає, що EJ = d / 2.

Підставляючи попередні значення у відношенні дотичних, ми маємо:

загар (70º) = a / (d / 2).

Тепер ми чітко пояснюємо довжину апофеми:

a = (d / 2) загар (70º).

Попередній результат заміщений формулою області для отримання:

Площа енегона = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) загар (70º))

Нарешті, ми знаходимо формулу, яка дозволяє отримати площу регулярного енегона, якщо відома лише довжина d його сторін:

Площа енегона = (9/4) d ² tan (70º) = 6,1818 d ²

По периметру звичайного енегона відома його сторона

Периметр многокутника - це сума його сторін. У випадку енегона, оскільки кожна з сторін вимірює довжину d, його периметр буде дорівнює дев'ятикратним d, тобто:

Периметр = 9 д

По периметру енегона відомий його радіус

Розглядаючи правильний трикутник OJE у J (див. Рисунок 2), застосовується тригонометричне косинусове відношення:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Звідки його отримано:

d = 2r cos (70º)

Підставляючи цей результат, отримуємо формулу периметра як функцію від радіуса енегона:

Периметр = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Як зробити звичайний енегон

1- Щоб побудувати звичайний енеагон із лінійкою та компасом, почніть з окружності c, яка обводить енеагон. (див. рисунок 3)

2- Дві перпендикулярні лінії проведені через центр O окружності. Тоді перетини А і В однієї з ліній позначаються окружністю.

3- За допомогою циркуля, що центрує перехоплення B і отвір, рівний радіусу BO, малюється дуга, яка перетинає початкову окружність у точці C.

Малюнок 3. Етапи побудови звичайного енегона. (Власна розробка)

4- Попередній крок повторюється, але, роблячи центр в A і радіусі AO, малюється дуга, яка перетинає окружність c в точці E.

5- З отвором змінного струму і центром в А накреслюється дуга окружності. Аналогічно з відкриттям BE і центром B накреслюється інша дуга. Перетин цих двох дуг позначено як точка G.

6- Роблячи центр у G та відкриваючи GA, малюється дуга, яка перетинає вторинну вісь (горизонтальну в даному випадку) у точці H. Перетин вторинної осі з початковою окружністю c позначено як I.

7- Довжина відрізка IH дорівнює довжині d сторони енегона.

8- З отвором компаса IH = d дуги центру A радіус AJ, центр J радіус AK, центр K радіус KL та центр L радіус LP намальовані послідовно.

9- Аналогічно, починаючи з А та з правого боку, малюються дуги радіусом IH = d, які позначають точки M, N, C і Q на початковій окружності c.

10- Нарешті, намалюються сегменти AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ і нарешті PB.

Слід зазначити, що спосіб побудови не зовсім точний, оскільки можна перевірити, що остання сторона ПБ на 0,7% довша за інші сторони. На сьогоднішній день не відомий спосіб побудови за допомогою лінійки та циркуля, який є на 100% точним.

Приклади

Ось кілька відпрацьованих прикладів.

Приклад 1

Ми хочемо побудувати звичайний енегон, сторони якого вимірюють 2 див. Який радіус повинен мати окружність, яка обводить його, щоб, застосовуючи попередньо описану конструкцію, був отриманий бажаний результат?

У попередньому розділі було виведено формулу, яка пов'язує радіус r описаного кола зі стороною d звичайного енегона:

d = 2r cos (70º)

Розв’язуючи r для попереднього виразу, маємо:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,44619 * d

Підставляючи значення d = 2 см у попередній формулі, дається радіус r 2,92 див.

Приклад 2

Яка площа звичайного енегона зі стороною 2 см?

Щоб відповісти на це запитання, ми мусимо звернутися до раніше показаної формули, яка дозволяє нам знайти площу відомого енегона за довжиною d його сторони: