- множення дійсного числа а на вектор V : α v дає інший вектор і приналежність до V .

Художнє бачення векторного простору. Джерело: Піксабай

Для позначення вектора використовуємо жирний шрифт ( v - вектор), а для скалярів чи цифр - грецькі літери (α - число).

Аксіоми та властивості

Для даного векторного простору повинні міститись наступні вісім аксіом:

1-комутабельність: u + v = v + u

2-Транзитивність: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3 -існування нульового вектора 0 таке, що 0 + v = v

4-Існування протилежного: протилежність v є (- v ), оскільки v + (- v ) = 0

5 -розподіл продукту відносно суми вектора: α ( u + v ) = α u + α v

6-Розподіл продукту щодо скалярної суми: (α + β) v = α v + β v

7-Асоціативність скалярного добутку: α (β v ) = (α β) v

8-Число 1 є нейтральним елементом, оскільки: 1 v = v

Приклади векторних просторів

Приклад 1

Вектори площини (R²) є прикладом векторного простору. Вектор у площині - це геометричний об’єкт, який має величину та напрямок. Він представлений орієнтованим відрізком, що належить до зазначеної площини, і розміром, пропорційним його величині.

Суму двох векторів у площині можна визначити як операцію геометричного перекладу другого вектора після першого. Результатом суми є орієнтований відрізок, який починається від початку першого і доходить до кінця другого.

На рисунку видно, що сума в R² є комутативною.

Малюнок 2. Вектори в площині утворюють векторний простір. Джерело: саморобний.

Визначається також добуток числа α і вектора. Якщо число позитивне, то напрямок вихідного вектора зберігається, а розмір - α-кратний від початкового вектора. Якщо число від’ємне, напрямок протилежний, а розмір отриманого вектора - абсолютне значення числа.

Вектор, протилежний будь-якому вектору v , - v = (- 1) v .

Нульовий вектор є точкою в площині R², а число, що дорівнює нулю, векторному дає нульовий вектор.

Все сказане проілюстровано на малюнку 2.

Приклад 2

Множина P всіх многочленів ступеня менше або дорівнює двом, включаючи нуль градусів, утворюють множину, яка задовольняє всі аксіоми векторного простору.

Нехай многочлен P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Визначається сума двох многочленів: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Сума многочленів, що належать множині Р, є комутативною і перехідною.

Нульовий многочлен, що належить множині P, є тим, у кого всі його коефіцієнти рівні нулю:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Сума скалярного α за многочленом визначається як: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Протилежний многочлен P (x) - -P (x) = (-1) P (x).

З усього вищесказаного випливає, що множина P всіх многочленів ступеня менше або дорівнює двом є векторним простором.

Приклад 3

Множина M всіх матриць m рядків xn стовпців, елементи яких є дійсними числами, утворюють реальний векторний простір щодо операцій додавання матриць і добутку числа матрицею.

Приклад 4

Множина F безперервних функцій реальної змінної утворює векторний простір, оскільки можна визначити суму двох функцій, множення скаляра на функцію, нульову функцію та симетричну функцію. Вони також виконують аксіоми, що характеризують векторний простір.

База та розмірність векторного простору

База

Основа векторного простору визначається як набір лінійно незалежних векторів, так що з лінійної їх комбінації може генеруватися будь-який вектор цього векторного простору.

Лінійне поєднання двох або більше векторів складається з множення векторів на деякий скаляр, а потім їх додавання векторіально.

Наприклад, у векторному просторі векторів у трьох вимірах, утворених R³, використовується канонічна основа, визначена одиничними векторами (величиною 1) i , j , k .

Де i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Це декартовий або канонічний вектори.

Будь-який вектор V, що належить R³, записується як V = a i + b j + c k , що є лінійною комбінацією базових векторів i , j , k . Скалярний або числа A, B, C, відомі як декартові компоненти V .

Кажуть також, що базові вектори векторного простору утворюють генераторний набір векторного простору.

Вимір

Розмір векторного простору - це головне число векторної основи для цього простору; тобто кількість векторів, що складають зазначену базу.

Цей кардинал - це максимальна кількість лінійно незалежних векторів цього векторного простору, і в той же час мінімальна кількість векторів, що утворюють генераторний набір цього простору.

Основи векторного простору не є унікальними, але всі бази одного і того ж векторного простору мають однаковий вимір.

Векторний простір

Векторний підпростір S векторного простору V - це підмножина V, в якій визначаються ті ж операції, що і в V, і виконує всі аксіоми векторного простору. Тому підпростір S також буде векторним простором.

Прикладом векторного підпростору є вектори, що належать площині XY. Цей підпростір - це підмножина векторного простору розмірності, що перевищує набір векторів, що належать до тривимірного простору XYZ.

Інший приклад векторного підпростору S1 векторного простору S, утвореного всіма 2 × 2 матрицями з реальними елементами, визначений нижче:

З іншого боку, S2, визначений нижче, хоча є підмножиною S, не утворює векторного підпростору:

Розв’язані вправи

-Вправа 1

Нехай вектори V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) і V3 = (0, 0, 3) в R³.

а) Покажіть, що вони лінійно незалежні.

б) Покажіть, що вони складають основу в R³, оскільки будь-яку трійку (x, y, z) можна записати як лінійну комбінацію V1, V2, V3.

в) Знайдіть компоненти потрійного V = (-3,5,4) в основі V1 , V2 , V3 .

Рішення

Критерій демонстрації лінійної незалежності полягає у встановленні наступного набору рівнянь у α, β та γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Якщо єдиним рішенням цієї системи є α = β = γ = 0, то вектори лінійно незалежні, інакше вони не є.

Для отримання значень α, β та γ ми пропонуємо таку систему рівнянь:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Перший призводить до α = 0, другий α = -2 ∙ β, але оскільки α = 0, то β = 0. З третього рівняння випливає, що γ = (- 1/3) β, але оскільки β = 0, то γ = 0.

Відповідь на

Зроблено висновок, що це сукупність лінійно незалежних векторів у R³.

Відповідь b

Тепер запишемо трійку (x, y, z) у вигляді лінійної комбінації V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Де у вас є:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Перший вказує α = x, другий β = (yx) / 2 і третій γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Таким чином ми знайшли генератори α, β і γ будь-якої трійки R³

Відповідь c

Перейдемо до пошуку компонентів потрійного V = (-3,5,4) в основі V1 , V2 , V3 .

Підставляємо відповідні значення у виразах, знайдених вище для генераторів.

У цьому випадку маємо: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Це є:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

До останнього:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Ми робимо висновок, що V1, V2, V3 складають основу у векторному просторі R³ розмірності 3.

-Вправа 2

Виразіть многочлен P (t) = t² + 4t -3 у вигляді лінійної комбінації P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t і P3 (t) = t + 3.

Рішення

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

де числа x, y, z мають бути визначені.

Помноживши і групуючи доданки з однаковим ступенем в t, отримуємо:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Що призводить нас до наступної системи рівнянь:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Рішеннями цієї системи рівнянь є:

x = -3, y = 2, z = 4.

Це є:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Вправа 3

Покажіть, що вектори v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) і v3 = (2, 1, -1, 1) R⁴ лінійно незалежні.

Рішення

Ми лінійно поєднуємо три вектори v1 , v2 , v3 і вимагаємо, щоб комбінація додала нульовий елемент R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Тобто,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Це призводить нас до такої системи рівнянь:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Віднімаючи перше і четверте, маємо: -a + c = 0, що означає a = c.

Але якщо ми подивимось на третє рівняння, то маємо, що a = -c. Єдиний спосіб, що виконується a = c = (- c), - c, що дорівнює 0, а отже, а також буде 0.

a = c = 0

Якщо цей результат підключити до першого рівняння, то зробимо висновок, що b = 0.

Нарешті a = b = c = 0, так що можна зробити висновок, що вектори v1, v2 і v3 лінійно незалежні.

Список літератури

1. Ліпшуц, С. 1993. Лінійна алгебра. Друге видання. McGraw-Hill. 167-198.