ОРТОЕДР: ФОРМУЛИ, ПЛОЩА, ОБСЯГ, ДІАГОНАЛЬ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Orthohedron є об'ємним або тривимірний геометрична фігура , яка характеризується тим , що шість прямокутних граней, так що протилежні грані знаходяться в паралельних площинах і є однаковими або конгруентними прямокутниками. З іншого боку, грані, прилеглі до даної грані, знаходяться в площинах, перпендикулярних до початкової грані.

Ортоедр можна також розглядати як ортогональну призму з прямокутною основою, в якій двогранні кути, утворені площинами двох граней, прилеглих до загального ребра, розміром 90º. Двогранний кут між двома гранями вимірюється на перетині граней із загальною для них перпендикулярною площиною.

Малюнок 1. Ортоедр. Джерело: Ф. Сапата з Геогебра.

Так само ортоедр - це прямокутний паралелепіпед, оскільки саме так визначається паралелепіпед як об'ємна фігура шести граней, які паралельні дві на дві.

У будь-якому паралелепіпеді грані є паралелограмами, але в прямокутному паралелепіпеді грані повинні бути прямокутними.

Частини ортоедра

Частинами багатогранника, як і ортоедром, є:

-Арістас

-Верти

-Обличчя

Кут між двома ребрами однієї грані ортоедра збігається з двогранним кутом, утвореним двома іншими його гранями, прилеглими до кожного з ребер, утворюючи прямий кут. Наступне зображення пояснює кожну концепцію:

Малюнок 2. Частини ортоедра. Джерело: Ф. Сапата з Геогебра.

-Усього ортоедр має 6 граней, 12 ребер і 8 вершин.

-Куст між будь-якими двома ребрами - це прямий кут.

-Двогранний кут між будь-якими двома гранями також є правильним.

-У кожному боці є чотири вершини, а в кожній вершині - три взаємно ортогональних грані.

Формули ортоедра

Площа

Поверхня або площа ортоедра - це сума площ його граней.

Якщо три ребра, що зустрічаються у вершині, мають міри a, b і c, як показано на малюнку 3, то передня грань має площу c⋅b, а нижня грань також має область c⋅b.

Тоді дві бічні грані мають площу a⋅b кожна. І, нарешті, обличчя підлоги та стелі мають кожну площу.

Малюнок 3. Ортоедр розмірів a, b, c. Внутрішня діагональ D і зовнішня діагональ d.

Додавання площі всіх граней дає:

Беручи загальний фактор і впорядковуючи умови:

Обсяг

Якщо ортоедр розглядається як призма, то його обсяг обчислюється так:

У цьому випадку підлога розмірів c і a приймається за прямокутну основу, тому площа основи c⋅a.

Висота задається довжиною b ребер, ортогональних до граней сторін a і c.

Помноживши площу основи (a⋅c) на висоту b дає об'єм V ортоедра:

Внутрішня діагональ

В ортоедрі є два види діагоналей: зовнішні діагоналі та внутрішні діагоналі.

Зовнішні діагоналі розташовані на прямокутних гранях, тоді як внутрішні діагоналі - це відрізки, що з'єднують дві протилежні вершини, розуміючи під протилежними вершинами ті, які не мають жодного ребра.

В ортоедрі є чотири внутрішніх діагоналі, всі однаковою мірою. Довжину внутрішніх діагоналей можна отримати, застосувавши теорему Піфагора для правильних трикутників.

Довжина d зовнішньої діагоналі поверхні підлоги ортоедра відповідає піфагорейському відношенню:

d ² = a ² + c ²

Аналогічно, внутрішня діагональ міри D відповідає піфагорійському відношенню:

D ² = d ² + b ² .

Поєднуючи два попередні вирази, ми маємо:

D ² = a ² + c ² + b ² .

Нарешті, довжина будь-якої із внутрішніх діагоналей ортоедра задається наступною формулою:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

Приклади

- Приклад 1

Муляр будує резервуар у формі ортоедра, внутрішні розміри якого: 6 м х 4 м в основі та 2 м у висоту. Він запитує:

а) Визначте внутрішню поверхню бака, якщо він повністю відкритий вгорі.

б) Обчисліть об’єм внутрішнього простору бака.

в) Знайдіть довжину внутрішньої діагоналі.

г) Яка ємність бака в літрах?

Рішення для

Візьмемо розміри прямокутної основи a = 4 м і с = 6 м, а висоту як b = 2 м

Площа ортоедра з заданими розмірами задається наступним співвідношенням:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Тобто:

A = 2⋅ (8 м ² + 12 м ² + 24 м ² ) = 2⋅ (44 м ² ) = 88 м ²

Попередній результат - площа закритого ортоедра з заданими розмірами, але оскільки це резервуар, повністю розкритий у верхній його частині, для отримання поверхні внутрішніх стінок резервуара слід відняти площу відсутньої кришки, яка є:

c⋅a = 6 м ⋅ 4 м = 24 м ² .

Нарешті, внутрішня поверхня бака становитиме: S = 88 м ² - 24 м ² = 64 м ² .

Рішення b

Внутрішній об'єм резервуара задається об'ємом ортоедра внутрішніх розмірів танка:

V = a⋅b⋅c = 4 м ⋅ 2 м ⋅ 6 м = 48 м ³ .

Розв’язання c

Внутрішня діагональ октаедра з розмірами внутрішніх частин цистерни має довжину D, задану:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 м) ² + (2 м) ² + (6 м) ² )

Проводячи вказані операції, ми маємо:

D = √ (16 м ² + 4 м ² + 36 м ² ) = √ (56 м ² ) = 2√ (14) м = 7,48 м.

Рішення d

Для розрахунку ємності бака в літрах необхідно знати, що об’єм кубічного дециметра дорівнює ємності літра. Раніше він був обчислений в об'ємі в кубічних метрах, але його потрібно перетворити на кубічний дециметр, а потім на літри:

V = 48 м ³ = 48 (10 дм) ³ = 4800 дм ³ = 4800 л

- Вправа 2

Скляний акваріум має кубічну форму зі стороною 25 див. Визначте площу в м ² , об'єм у літрах та довжину внутрішньої діагоналі в см.

Малюнок 4. Скляний акваріум кубічної форми.

Рішення

Площа обчислюється за тією ж формулою ортоедра, але з урахуванням того, що всі розміри однакові:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 см) ² = 1250 см ²

Об'єм куба задається:

V = a ³ = (25 см) ³ = 15,625 см ³ = 15,625 (0,1 дм) ³ = 15,625 дм ³ = 15,625 л.

Довжина D внутрішньої діагоналі дорівнює:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) см = 43,30 см.

Список літератури

1. Аріас Дж. Геогебра: Призма. Відновлено з: youtube.com.
2. Розрахунок.cc. Вправи та розв’язані задачі районів та обсягів. Відновлено з: Calculo.cc.
3. Піраміда Сальвадора Р. + ортоедр з GEOGEBRA (IHM). Відновлено з: youtube.com
4. Вайштайн, Ерік. "Ортоедр". MathWorld. Дослідження Вольфрама.
5. Вікіпедія. Ортоедр Відновлено з: es.wikipedia.com