ГІПЕРБОЛІЧНИЙ ПАРАБОЛОЇД: ВИЗНАЧЕННЯ, ВЛАСТИВОСТІ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Гіперболічний параболоїд є поверхнею якого загальне рівняння в декартових координатах (х, у, г) задовольняє наступному рівнянню:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Назва "параболоїд" походить від того, що змінна z залежить від квадратів змінних x і y. Тоді як прикметник "гіперболічний" зумовлений тим, що при фіксованих значеннях z маємо рівняння гіперболи. Форма цієї поверхні схожа на форму кінського сідла.

Малюнок 1. Гіперболічний параболоїд z = x ² - y ² . Джерело: Ф. Сапата за допомогою Wolfram Mathematica.

Опис гіперболічного параболоїда

Щоб зрозуміти природу гіперболічного параболоїду, буде зроблений наступний аналіз:

1.- Візьмемо окремий випадок a = 1, b = 1, тобто, декартове рівняння параболоїда залишається як z = x ² - y ² .

2.- Площини вважаються паралельними площині ZX, тобто y = ctte.

3.- При y = ctte залишається z = x ² - C, які представляють параболи з гілками вгору і вершиною нижче площини XY.

Малюнок 2. Сімейство кривих z = x ² - C. Джерело: Ф. Сапата за допомогою геогебри.

4.- При x = ctte залишається z = C - y ² , які представляють параболи з гілками вниз і вершиною над площиною XY.

Малюнок 3. Родина кривих z = C - y ² . Джерело: Ф. Сапата через Геогебру.

5.- При z = ctte залишається C = x ² - y ² , які представляють гіперболи в площинах, паралельних площині XY. При C = 0 є дві лінії (при + 45º та -45º щодо осі X), які перетинаються біля початку в площині XY.

Малюнок 4. Сімейство кривих x ² - y ² = C. Джерело: Ф. Сапата за допомогою геогебри.

Властивості гіперболічного параболоїда

1.— Чотири різних точки в тривимірному просторі визначають один і лише один гіперболічний параболоїд.

2.- Гіперболічний параболоїд - це поверхня, що управляється подвійно. Це означає, що незважаючи на вигнуту поверхню, через кожну точку гіперболічного параболоїда проходять дві різні лінії, які повністю належать до гіперболічного параболоїда. Інша поверхня, яка не є площиною і в якій двічі править, - це гіперболоїд обертання.

Саме друга властивість гіперболічного параболоїда дозволила широко використовувати його в архітектурі, оскільки поверхня може бути породжена прямими балками або струнами.

Друга властивість гіперболічного параболоїда дозволяє альтернативне його визначення: саме поверхня може бути породжена рухомою прямою лінією, паралельною нерухомій площині, і вирізає дві нерухомі лінії, які служать орієнтиром. Наступний малюнок пояснює це альтернативне визначення гіперболічного параболоїда:

Малюнок 5. Гіперболічний параболоїд - це поверхня, що управляється вдвічі. Джерело: Ф. Сапата.

Опрацьовані приклади

- Приклад 1

Покажіть, що рівняння: z = xy, відповідає гіперболічному параболоїду.

Рішення

Перетворення буде застосовано до змінних x і y, що відповідають обертанню декартових осей щодо осі Z + 45º. Старі координати x і y перетворюються на нові x 'і y' відповідно до таких співвідношень:

x = x '- y'

y = x '+ y'

при цьому координата z залишається такою ж, тобто z = z '.

Підставляючи рівняння z = xy, маємо:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Застосовуючи помітний добуток різниці на суму, рівну різниці квадратів, маємо:

z '= x' ² - y ' ²

що чітко відповідає спочатку даному визначенню гіперболічного параболоїда.

Перехоплення площин, паралельних осі XY з гіперболічним параболоїдом z = xy, визначає рівносторонні гіперболи, які мають як асимптоти площини x = 0 і y = 0.

- Приклад 2

Визначте параметри a і b гіперболічного параболоїда, який проходить через точки A (0, 0, 0); Б (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) і D (2, -1, 32/9).

Рішення

За своїми властивостями чотири точки в тривимірному просторі визначають єдиний гіперболічний параболоїд. Загальне рівняння:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Підставляємо задані значення:

Для точки A маємо 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , рівняння, яке задовольняється незалежно від значень параметрів a і b.

Підставляючи точку В, отримуємо:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Точка як для точки C залишається:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Нарешті, для точки D отримаємо:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Який ідентичний попередньому рівнянню. Зрештою, система рівнянь повинна бути вирішена:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Віднімання другого рівняння від першого дає:

27/9 = 3 / a ^{2, з} чого випливає, що a ² = 1.

Аналогічним чином друге рівняння віднімається від четвірки першого, отримуючи:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Що спрощено як:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Коротше кажучи, гіперболічний параболоїд, який проходить через задані точки A, B, C і D, має декартові рівняння, задані:

z = x ² - (4/9) y ²

- Приклад 3

За властивостями гіперболічного параболоїда через кожну точку, які повністю містяться в ньому, проходять дві лінії. У випадку z = x ^ 2 - y ^ 2 знайдіть рівняння двох прямих, які проходять через точку P (0, 1, -1), чітко належать до гіперболічної параболоїди, так що всі точки цих прямих також належать до те саме.

Рішення

Використовуючи чудовий добуток різниці квадратів, рівняння для гіперболічного параболоїда можна записати так:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Де c - ненульова константа.

Рівняння x + y = cz, а рівняння x - y = 1 / c відповідають двом площинам із нормальними векторами n = <1,1, -c> і m = <1, -1,0>. Векторний добуток mxn = <- c, -c, -2> дає нам напрямок лінії перетину двох площин. Тоді одна з прямих, яка проходить через точку Р і належить до гіперболічного параболоїда, має параметричне рівняння:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Щоб визначити c, підставляємо точку P в рівняння x + y = cz, отримуючи:

c = -1

Аналогічним чином, але враховуючи рівняння (x - y = kz) та (x + y = 1 / k), ми маємо параметричне рівняння прямої:

= <0, 1, -1> + s з k = 1.

Підсумовуючи два рядки:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> і = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Вони повністю містяться в гіперболічному параболоїді z = x ² - y ^{2, що} проходить через точку (0, 1, -1).

Для перевірки припустимо, що t = 1, що дає нам точку (1,2, -3) на першому рядку. Ви повинні перевірити, чи є він також на параболоїді z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Що підтверджує, що він дійсно належить до поверхні гіперболічного параболоїда.

Гіперболічний параболоїд в архітектурі

Рисунок 6. Океанографічна Валенсія (Іспанія) Джерело: Вікімедіа.

Гіперболічний параболоїд був використаний в архітектурі великими архітекторами-авангардистами, серед яких виділяються імена іспанського архітектора Антоні Гауді (1852-1926), а особливо іспанського Фелікса Кандела (1910-1997).

Нижче наведено деякі роботи, засновані на гіперболічному параболоїді:

-Каплиця міста Куєрнавака (Мексика) робота архітектора Фелікса Кандела.

-Океанографічна Валенсія (Іспанія), також Фелікс Кандела.

Список літератури

1. Енциклопедія математики. Правила поверхні. Відновлено: encyclopediaofmath.org
2. Ллера Рубен. Гіперболічний параболоїд. Відновлено з: rubenllera.wordpress.com
3. Вайштайн, Ерік В. "Гіперболічний параболоїд". Від MathWorld - веб-ресурс Wolfram. Відновлено з: mathworld.wolfram.com
4. Вікіпедія. Параболоїд. Відновлено з: en.wikipedia.com
5. Вікіпедія. Параболоїд. Відновлено з: es.wikipedia.com
6. Вікіпедія. Правила поверхні. Відновлено з: en.wikipedia.com