КРУГОВІ ПЕРЕСТАНОВКИ: ДОКАЗ, ПРИКЛАДИ, РОЗВ’ЯЗАНІ ВПРАВИ - ДУДИ - 2025

Ці кругові перестановки різних типів угруповань усіх елементів множини, коли вони повинні бути розташовані по колу. У цьому типі перестановки значення має порядок і елементи не повторюються.

Наприклад, припустимо, ви хочете знати кількість чітких масивів цифр від одного до чотирьох, розміщуючи кожне число в одній з вершин ромба. Це буде 6 домовленостей:

Не слід плутати, що номер один знаходиться у верхньому положенні ромба у всіх випадках у фіксованому положенні. Кругові перестановки не змінюються обертанням масиву. Нижче наведено одну чи ту саму перестановку:

Демонстрація та формули

У прикладі різних 4-значних кругових масивів, розташованих у вершинах ромба, кількість масивів (6) можна знайти так:

1- Будь-яка з чотирьох цифр приймається за вихідну точку в будь-якій з вершин і переходить до наступної вершини. (не має значення, повернутий його за годинниковою або проти годинникової стрілки)

2- Залишилося 3 варіанти для вибору другої вершини, тоді є 2 варіанти для вибору третьої вершини і, звичайно, є лише один варіант вибору для четвертої вершини.

3- Таким чином, кількість кругових перестановок, позначених (4 - 1) P (4 - 1), отримується добутком варіантів вибору в кожному положенні:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 різних 4-значних кругових масивів.

Загалом, кількість кругових перестановок, яких можна досягти з усіма n елементами набору, становить:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Зауважте, що (n - 1)! Він відомий як n факторіал і скорочує добуток усіх чисел від числа (n - 1) до числа один включно.

Приклади

Приклад 1

Скільки різних способів мусить сидіти за круглим столом 6 людей?

Ви хочете знайти кількість різних способів, якими 6 людей можуть сісти за круглий стіл.

N ° способів сидіти = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Кількість способів сидіти = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 різних способів

Приклад 2

Скільки різних способів доводиться 5 людям знаходитись у вершинах п'ятикутника?

Шукається кількість способів, за якими можна розмістити 5 людей у ​​кожній з вершин п'ятикутника.

N ° способів розташування = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

N ° способів розташування = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 різні способи

Розв’язані вправи

- Вправа 1

Ювелір придбає 12 різних дорогоцінних каменів, щоб розмістити їх у місцях годин, які він готує від імені королівського дому європейської країни.

а) Скільки різних способів він має влаштувати камені на годиннику?

б) Скільки різних форм він має, якщо камінь, який йде до 12 години, унікальний?

в) Скільки різних фігур, якщо камінь о 12 годині унікальний, а камені в інших трьох кардинальних точках, 3, 6 та 9 годин; Чи є три конкретні камені, які можна обміняти, а решта годин відводиться від решти каменів?

Рішення

а) запитується кількість способів розташування всіх каменів по окружності годинника; тобто кількість круглих композицій, що включають усі наявні камені.

Кількість розташувань на годиннику = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Кількість виправлень на годиннику = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Кількість композицій на годиннику = 39976800 різних форм

б) Він цікавиться, скільки існує різних способів замовлення, знаючи, що камінь на ручці 12 годин унікальний і нерухомий; тобто кількість круглих композицій, що включають решту 11 каменів.

Кількість розташувань на годиннику = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Кількість виправлень на годиннику = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Кількість композицій на годиннику = 3,628 800 різних форм

c) Нарешті, шукається кількість способів замовити всі камені, за винятком 12-годинного каменю, який закріплений, 3, 6 та 9 каменів, які мають 3 каменю, які мають бути присвоєні один одному; тобто 3! можливості розташування та кількість круглих композицій із залученням решти 8 каменів.

Кількість виправлень за годинник = 3! * = 3! * (8–1)!

Кількість домовленостей за годинник = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Кількість композицій на годиннику = 241920 різних форм

- Вправа 2

Керівний комітет компанії складається з 8 членів, і вони збираються за овальним столом.

а) Скільки різних форм розташування навколо столу має комітет?

b) Припустимо, голова засідає на чолі столу в будь-якій домовленості комітету, скільки різних форм домовленостей має решта комітету?

c) Припустимо, що віце-президент і секретар сидять по обидва боки від президента в будь-якій домовленості комітету. Скільки різних форм розпорядження має решта комітету?

Рішення

а) Ми хочемо знайти кількість різних способів розташування 12 членів комітету навколо овального столу.

N ° домовленостей комітету = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

N ° комісійних домовленостей = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° комісійних домовленостей = 39976800 різних форм

b) Оскільки голова комітету знаходиться у фіксованому місці, шукається кількість способів замовити решту 11 членів комітету навколо овального столу.

N ° комісійних домовленостей = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

N ° комісійних домовленостей = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° комісійних домовленостей = 3,628 800 різних форм

в) Президент розташований у фіксованій позиції, а з боків - віце-президент і секретар з двома можливостями розташування: віце-президент праворуч і секретар зліва або віце-президент зліва і секретар справа. Тоді ви хочете знайти кількість різних способів замовити решту 9 членів комітету навколо овального столу та помножити на 2 форми домовленостей, які мають віце-президент та секретар.

N ° комісійних домовленостей = 2 * = 2 *

N ° комісійних домовленостей = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

N ° комісійних домовленостей = 80640 різних форм

Список літератури

1. Боада, А. (2017). Використання перестановки з повторенням як викладання експериментів. Журнал Vivat Academia. Відновлено з researchgate.net.
2. Канавос, Г. (1988). Ймовірність та статистика. Застосування та методи. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Скло, Г .; Стенлі, Дж. (1996). Статистичні методи, що не застосовуються до соціальних наук. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Шпігель, М .; Stephens, L. (2008). Статистика. Четвертий вид. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Майєрс, Р .; Майерс, S .; Так, Ка. (2007). Ймовірність та статистика для інженерів та вчених. Восьмий вид. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Вебстер, А. (2000). Статистика, що стосується бізнесу та економіки. Третє вид. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Вікіпедія. (2019). Перестановка. Відновлено з сайту en.wikipedia.org