ПЕРЕСТАНОВКИ БЕЗ ПОВТОРЕННЯ: ФОРМУЛИ, ДОКАЗ, ВПРАВИ, ПРИКЛАДИ - ДУДИ - 2025

Перестановки без повторень з п елементів різних груп різних елементів , які можуть бути отримані з не повторювати який - або елемент, тільки змінюючи порядок розташування елементів.

Щоб дізнатися кількість перестановок без повторень, використовується наступна формула:

Pn = n!

Яке розширення було б Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Тож у попередньому практичному прикладі це застосовуватиметься так:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 різні 4-значні числа.

Це загалом 24 масиви: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Як видно, повторення ні в якому разі не буває, це 24 різні числа.

Демонстрація та формули

24 Аранжування 4 різних фігур

Ми детальніше проаналізуємо приклад 24 різних 4-розрядних компонувань, які можна сформувати з цифр числа 2468. Кількість розташувань (24) може бути відома таким чином:

У вас є 4 варіанти вибору першої цифри, що залишає 3 варіанти для вибору другої. Дві цифри вже встановлені, а для вибору третьої цифри залишаються 2 варіанти. Остання цифра має лише один варіант вибору.

Тому кількість перестановок, позначених P4, отримується добутком варіантів вибору в кожному положенні:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 різні 4-значні числа

Загалом, кількість різних перестановок або композицій, які можна виконати з усіма n елементами даного набору, становить:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Вираз n! Він відомий як n факторіал і означає добуток усіх натуральних чисел між числом n і числом один, включаючи обидва.

12 Аранжування 2 різних фігур

Тепер припустимо, ви хочете знати кількість перестановок або двоцифрових чисел, які можна сформувати з цифр числа 2468.

Це буде 12 домовленостей загалом: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

У вас є 4 варіанти для вибору першої цифри, яка залишає 3 цифри для вибору другої. Отже, кількість перестановок чотирьох цифр, взятих два на два, позначених 4P2, отримується добутком варіантів вибору у кожному положенні:

4P2 = 4 * 3 = 12 різних двоцифрових чисел

Загалом, кількість різних перестановок або розташувань, які можна виконати з r елементами n у загальній кількості в заданому наборі, становить:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

Вищенаведений вираз обрізається перед відтворенням n !. Для завершення n! з нього слід написати:

н! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Фактори, які ми додаємо, у свою чергу, представляють собою фактори:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Таким чином,

н! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Звідси

п! / (п - г)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Приклади

Приклад 1

Скільки різних 5-літерних комбінацій букв можна побудувати з букв слова KEY?

Ми хочемо знайти кількість різних літерних комбінацій з 5 літер, які можна побудувати за допомогою 5 літер слова KEY; тобто кількість масивів з 5 літер, що включають усі букви, наявні у слові KEY.

N ° з 5 літерних слів = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 різних 5-літерних комбінацій букв.

Це: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC … до 120 різних літерних комбінацій загалом.

Приклад 2

У вас 15 пронумерованих кульок, і ви хочете знати, скільки різних груп з 3 кульок можна побудувати за допомогою 15 пронумерованих куль?

Ви хочете знайти кількість груп з 3 кульок, які можна зробити з 15 пронумерованих куль.

N ° груп з 3 кульок = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

N ° груп з 3 кульок = 15 * 14 * 13 = 2730 груп по 3 кулі

Розв’язані вправи

Вправа 1

У фруктовому магазині є виставковий стенд, що складається з ряду відділень, розташованих у прихожій до приміщення. За один день озеленитель придбає на продаж: апельсини, банани, ананаси, груші та яблука.

а) Скільки різних способів замовити виставковий стенд?

б) Скільки різних способів йому доведеться замовити на підставці, якщо окрім згаданих фруктів (5) він отримав у цей день: манго, персики, полуницю та виноград (4)?

а) Ми хочемо знайти кількість різних способів замовити всі фрукти у рядку відображення; тобто кількість домовленостей із 5 фруктових предметів, які включають усі фрукти, доступні для продажу в цей день.

N ° підставки підставки = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° домовленостей стенду = 120 способів представити стенд

б) Ми хочемо знайти кількість різних способів замовити всі фрукти у рядку відображення, якщо було додано 4 додаткові елементи; тобто кількість домовленостей з 9 фруктових предметів, які включають усі фрукти, доступні для продажу в цей день.

N ° підставки підставки = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° розміщення стенду = 362,880 способів презентації стенду

Вправа 2

У невеликій торговій точці є ділянка землі з достатньою кількістю місця для паркування 6 транспортних засобів.

а) Скільки різних способів замовлення транспортних засобів на земельній ділянці можна вибрати?

б) Припустимо, придбано суміжну земельну ділянку, розміри якої дозволяють паркувати 10 транспортних засобів.Скільки різних форм розташування транспортних засобів зараз можна вибрати?

а) Ми хочемо знайти кількість різних способів замовлення 6 транспортних засобів, які можна розмістити на земельній ділянці.

Кількість домовленостей 6 транспортних засобів = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Кількість домовленостей 6 транспортних засобів = 720 різних способів замовлення 6 транспортних засобів на земельній ділянці.

б) Ми хочемо знайти кількість різних способів замовлення 10 транспортних засобів, які можна розмістити на земельній ділянці після розширення земельної ділянки.

N ° домовленостей 10 транспортних засобів = P10 = 10!

Кількість транспортних засобів = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Кількість домовленостей 10 транспортних засобів = 3,628 800 різних способів замовлення 10 транспортних засобів на земельній ділянці.

Вправа 3

У квітникаря є квіти 6 різних кольорів, щоб зробити квіткові прапори країн, які мають лише 3 кольори. Якщо відомо, що в прапорах важливий порядок кольорів,

а) Скільки різних прапорів у 3 кольори можна зробити з 6 доступних кольорів?

б) Продавець купує квіти 2 додаткових кольорів до тих 6, які він уже мав, тепер скільки різноманітних прапорів 3 кольорів можна зробити?

c) Оскільки у вас є 8 кольорів, ви вирішили розширити свій асортимент прапорів. Скільки різних 4-кольорових прапорів ви можете зробити?

г) Скільки двох кольорів?

а) Ми хочемо знайти кількість різних прапорців із 3 кольорів, які можна зробити, вибравши з 6 доступних кольорів.

N ° 3-кольорових прапорів = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

N ° 3-кольорових прапорів = 6 * 5 * 4 = 120 прапорів

б) Ви хочете знайти кількість різних прапорців із 3 кольорів, які можна зробити, вибравши з 8 доступних кольорів.

N ° 3-кольорових прапорів = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

N ° 3-кольорових прапорів = 8 * 7 * 6 = 336 прапорів

c) Кількість різних 4-кольорових прапорів, які можна зробити, вибравши з 8 доступних кольорів, має бути обчислена.

Кількість 4-кольорових прапорів = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Кількість 4-кольорових прапорів = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 прапорів

г) Ви хочете визначити кількість двох двоколірних прапорів, які можна зробити, вибравши з 8 доступних кольорів.

N ° двоколірних прапорів = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Кількість двокольорових прапорів = 8 * 7 = 56 прапорів

Список літератури

1. Боада, А. (2017). Використання перестановки з повторенням як викладання експериментів. Журнал Vivat Academia. Відновлено з researchgate.net.
2. Канавос, Г. (1988). Ймовірність та статистика. Застосування та методи. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Скло, Г .; Стенлі, Дж. (1996). Статистичні методи, що не застосовуються до соціальних наук. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Шпігель, М .; Stephens, L. (2008). Статистика. Четвертий вид. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Майєрс, Р .; Майерс, S .; Так, Ка. (2007). Ймовірність та статистика для інженерів та вчених. Восьмий вид. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Вебстер, А. (2000). Статистика, що стосується бізнесу та економіки. Третє вид. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Перестановка. Відновлено з сайту en.wikipedia.org