ТЕОРЕТИЧНА ЙМОВІРНІСТЬ: ЯК ЇЇ ОТРИМАТИ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - ДУДИ - 2025

Теоретична (або Лаплас) ймовірність того, що подія Е відбувається , що належить до простору зразка S, в якому всі події мають однакову ймовірність появи, визначаються в математичних позначеннях наступним чином: P (E) = N (Е) / N (S)

Де P (E) - ймовірність, наведена як коефіцієнт між загальною кількістю можливих результатів події E, яку ми називаємо n (E), поділеною на загальну кількість N (S) можливих результатів у просторі вибірки S.

Малюнок 1. При киданні шестигранної штанги теоретична ймовірність того, що трикутна голова знаходиться зверху, є ⅙. Джерело: Pixabay.

Теоретична ймовірність - це дійсне число між 0 і 1, але воно часто виражається у відсотках, і в цьому випадку ймовірність буде значенням від 0% до 100%.

Розрахунок вірогідності події дуже важливий у багатьох сферах, таких як торгівля, страхові компанії, азартні ігри та багато іншого.

Як отримати теоретичну ймовірність?

Показовий випадок - це розіграші чи лотереї. Припустимо, для розіграшу смартфона видано 1000 квитків. Оскільки розіграш робиться випадковим чином, будь-який з квитків має рівні шанси стати переможцем.

Щоб знайти ймовірність того, що людина, яка купує квиток з номером 81, є переможцем, проводиться наступний теоретичний розрахунок ймовірності:

P (1) = 1/1000 = 0,001 = 0,1%

Вищенаведений результат тлумачиться так: якби розіграш повторювався нескінченно багато разів, кожен 1000 квитків би вибирався в середньому один раз.

Якщо з якихось причин хтось придбає всі квитки, то певно, що він виграє приз. Вірогідність виграти приз, якщо у вас є всі квитки, розраховується так:

Р (1000) = 1000/1000 = 1 = 100%.

Тобто ймовірність 1 або 100% означає, що цілком певно, що цей результат відбудеться.

Якщо комусь належить 500 квитків, шанси виграти чи програти однакові. Теоретична ймовірність виграшу призу в цьому випадку розраховується так:

P (500) = 500/1000 = ½ = 0,5 = 50%.

Той, хто не купить жодного квитка, не має шансів на перемогу, і його теоретична ймовірність визначається наступним чином:

P (0) = 0 / 1,000 = 0 = 0%

Приклади

Приклад 1

У вас є монета з лицьовою стороною з одного боку та щитом чи печаткою з іншого. Коли монета кидається, яка теоретична ймовірність того, що вона підійде голови?

P (обличчя) = n (обличчя) / N (грань + щит) = ½ = 0,5 = 50%

Результат інтерпретується так: якби було зроблено величезну кількість кидок, в середньому на кожні 2 кидки один з них виходив би головою.

У відсотковому відношенні інтерпретація результату полягає в тому, що, зробивши нескінченно велику кількість кидків, в середньому з 100 з них 50 призведе до головок.

Приклад 2

У коробці є 3 синіх мармуру, 2 червоних мармуру та 1 зелений. Яка теоретична ймовірність того, що коли ви виймете мармур із коробки, він стане червоним?

Малюнок 2. Імовірність видобутку кольорового мармуру. Джерело: Ф. Сапата.

Ймовірність того, що він вийде червоним, є:

P (червоний) = Кількість сприятливих випадків / Кількість можливих випадків

Тобто:

P (червоний) = Кількість червоного мармуру / Загальна кількість мармуру

Нарешті, ймовірність того, що намальований червоний мармур, така:

P (червоний) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Хоча ймовірність того, що при малюванні зеленого мармуру така:

P (зелений) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Нарешті, теоретична ймовірність отримання синього мармуру при сліпому видобутку така:

P (синій) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Тобто, для кожної 2 спроби результат буде синім в одній з них, а іншим кольором - в іншій спробі, за умови, що видобутий мармур замінено і кількість випробувань дуже-дуже велика.

Вправи

Вправа 1

Визначте ймовірність того, що кочення штампу отримає значення, менше або рівне 4.

Рішення

Для обчислення ймовірності виникнення цієї події буде застосовано визначення теоретичної ймовірності:

P (≤4) = Кількість сприятливих випадків / Кількість можливих випадків

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Вправа 2

Знайдіть ймовірність того, що в двох послідовних рулонах нормальної шестигранної штампи 5 згорнеться 2 рази.

Рішення

Щоб відповісти на цю вправу, складіть таблицю, щоб показати всі можливості. Перша цифра позначає результат першого штампу, а друга - результат другої.

Для обчислення теоретичної ймовірності нам потрібно знати загальну кількість можливих випадків, у цьому випадку, як видно з попередньої таблиці, існує 36 можливостей.

Також, спостерігаючи за таблицею, можна зробити висновок, що кількість випадків, сприятливих для події, коли у двох послідовних запусках виходить 5, становить лише 1, виділене кольором, тому ймовірність того, що ця подія відбудеться, така:

Р (5 х 5) = 1/36.

Цей результат також міг бути використаний з використанням однієї з властивостей теоретичної ймовірності, яка стверджує, що об'єднана ймовірність двох незалежних подій є результатом їх індивідуальних ймовірностей.

У цьому випадку ймовірність того, що перший жеребку котить 5, є ⅙. Другий жеребкування повністю не залежить від першого, тому ймовірність того, що 5 перекидається у другому, також ⅙. Отже, сукупна ймовірність така:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Вправа 3

Знайдіть ймовірність того, що число, менше ніж 2, прокатується на першому жеребку, а число більше 2 - на другому.

Рішення

Знову ж таки, слід скласти таблицю можливих подій, де підкреслені ті, у яких перший кидок був меншим за 2, а у другому більший за 2.

Всього існує 4 можливості із загальної кількості 36. Тобто ймовірність цієї події така:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Використовуючи теорему ймовірності, яка стверджує:

Отриманий такий же результат:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Значення, отримане за допомогою цієї процедури, збігається з попереднім результатом за допомогою теоретичного або класичного визначення ймовірності.

Вправа 4

Яка ймовірність того, що при розкатуванні двох кісток сума значень дорівнює 7.

Рішення

Для пошуку рішення в цьому випадку була складена таблиця можливостей, в якій кольори вказували випадки, які відповідають умові, що сума значень дорівнює 7.

Дивлячись на таблицю, можна перерахувати 6 можливих випадків, тому ймовірність така:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Список літератури

1. Canavos, G. 1988. Імовірність та статистика: Застосування та методи. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Імовірність та статистика для інженерії та науки. 8-й. Видання. Візьміть на себе.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Вірогідність. McGraw Hill.
4. Обрегон, І. 1989. Теорія ймовірності. Редакційна Лімуса.
5. Walpole, R. 2007. Вірогідність та статистика для інженерії та наук. Пірсон.