ВЛАСТИВІСТЬ БЛОКУВАННЯ АЛГЕБРИ: ДОКАЗ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Властивість блокування алгебри являє собою явище , яке відноситься два елементи набору з операцією, де необхідною умовою є те , що, після того , як 2 елементи обробляються в відповідно з вказаної операції, результат також належить до початкового набору.

Наприклад, якщо ми приймаємо парні числа як множину, а суму - як операцію, ми отримуємо блокування цього набору відносно суми. Це тому, що сума 2 парних чисел завжди дасть ще одне парне число, таким чином виконуючи умову блокування.

Джерело: unsplash.com

характеристики

Існує багато властивостей, які визначають алгебраїчні простори чи тіла, наприклад, структури чи кільця. Однак властивість блокування є однією з найвідоміших у базовій алгебрі.

Не всі застосування цих властивостей засновані на числових елементах або явищах. Багато побутових прикладів можна опрацювати з чистого алгебраїко-теоретичного підходу.

Прикладом можуть бути громадяни країни, які беруть на себе будь-які правові відносини, такі як комерційне товариство або шлюб серед інших. Після здійснення цієї операції або управління вони залишаються громадянами країни. Таким чином, дії громадянства та управління щодо двох громадян являють собою замок.

Числова алгебра

Що стосується чисел, то існує багато аспектів, які були предметом вивчення в різних течіях математики та алгебри. З цих досліджень виникла велика кількість аксіом і теорем, які слугують теоретичною основою сучасних досліджень та робіт.

Якщо ми працюємо з числовими наборами, ми можемо встановити інше дійсне визначення властивості блокування. Набір A називається блокуванням іншого набору B, якщо A - найменший набір, який містить усі множини та операції, які містить B.

Демонстрація

Доказ від блокування застосовується для елементів та операцій, присутніх у множині дійсних чисел R.

Нехай A і B - два числа, які належать множині R, закриття цих елементів визначається для кожної операції, що міститься в R.

Сума

- Сума: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Це алгебраїчний спосіб сказати, що для всіх A і B, які належать до дійсних чисел, ми маємо, що сума A плюс B дорівнює C, яка також належить до реальних.

Легко перевірити, чи справжня ця пропозиція; достатньо провести суму між будь-яким дійсним числом і перевірити, чи результат також належить до реальних чисел.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Помічено, що умова блокування виконується для реальних чисел та суми. Таким чином можна зробити висновок: Сума дійсних чисел є алгебраїчним замком.

Множення

- Множення: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

Для всіх A і B, що належать до дійсних, ми маємо, що множення A на B дорівнює C, яке також належить до дійсних.

Під час перевірки з тими ж елементами попереднього прикладу спостерігаються наступні результати.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 х (-7) = 14 ∈ R

-3 х 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Це достатньо доказів для висновку, що: Множення дійсних чисел є алгебраїчним замком.

Це визначення можна поширити на всі операції з реальними числами, хоча ми знайдемо певні винятки.

Джерело: pixabay.com

Особливі випадки в R

Відділ

Перший особливий випадок - поділ, де видно наступний виняток:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Для всіх A і B, що належать R, ми маємо, що A серед B не належить до реальних, якщо і лише тоді, коли B дорівнює нулю.

Цей випадок стосується обмеження неможливості ділити на нуль. Оскільки нуль належить до дійсних чисел, то звідси випливає: ділення не є замком на реальне число.

Подання

Існують також операції з потенціалу, точніше радикалізації, де представлені винятки для радикальних потужностей рівного індексу:

Для всіх A, що належить до реалів, n-й корінь A належить до реальних, якщо і лише тоді, коли A належить до позитивних дій, приєднаних до множини, єдиним елементом якої є нуль.

Таким чином позначається, що парні корені застосовуються лише до позитивних дійсних дій, і робиться висновок, що потенціювання не є замком у Р.

Логарифм

Гомологічним способом це можна побачити для логарифмічної функції, яка не визначена для значень, менших або рівних нулю. Щоб перевірити, чи логарифм є замком R, виконайте наступне:

Для всіх А, що належить до реальних, логарифм А належить до реальних, якщо і лише тоді, коли А належить до позитивних дій.

Виключаючи негативні значення та нуль, які також належать до R, можна констатувати, що:

Логарифм - це не фіксація дійсних чисел.

Приклади

Перевірте блокування на додавання та віднімання натуральних чисел:

Сума в N

Перше - перевірити умову блокування для різних елементів заданого набору, де, якщо спостерігається, що якийсь елемент порушується з умовою, існування блокування може бути автоматично відхилено.

Це властивість справедливо для всіх можливих значень A і B, як видно з наступних операцій:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Не існує природних значень, які порушують умову блокування, тому робиться висновок:

Сума - фіксація в Н.

Віднімаємо в N

Шукаються природні елементи, здатні порушити стан; A - B належить тубільцям.

Керуючи нею, легко знайти пари природних елементів, які не відповідають умові замка. Наприклад:

7 - 10 = -3 ∉ a N

Таким чином можна зробити висновок, що:

Віднімання не є замком на множині натуральних чисел.

Запропоновані вправи

1-Покажіть, чи виконується властивість блокування для множини раціональних чисел Q, для операцій додавання, віднімання, множення та ділення.

2-Поясніть, якщо множина дійсних чисел є блокуванням безлічі цілих чисел.

3 - Визначте, який числовий набір може бути блокуванням дійсних чисел.

4-Доведіть властивість замка для безлічі уявних чисел щодо додавання, віднімання, множення та ділення.

Список літератури

1. Панорама чистої математики: вибір Бурбакіста. Жан Дюдонне. Реверте, 1987 рік.
2. Теорія алгебраїчних чисел Алехандро Дж. Діаз Барріга, Ана Ірен Рамірес, Франциско Томас. Національний автономний університет Мексики, 1975 рік.
3. Лінійна алгебра та її застосування. Сандра Ібет Очоа Гарсія, Едуардо Гутьеррес Гонсалес.
4. Алгебраїчні структури V: теорія тіла. Гектор А. Мерклен. Організація американських держав, Генеральний секретаріат, 1979 р.
5. Вступ до комутативної алгебри. Майкл Френсіс Атія, IG MacDonald. Реверте, 1973.