ЩО ТАКЕ РАНГ У СТАТИСТИЦІ? (ІЗ ПРИКЛАДАМИ) - ДУДИ - 2025

Діапазон , діапазон або амплітуди, в статистиці, різниця (віднімання) між максимальним значенням і мінімальним значенням набору даних з зразка або популяції. Якщо діапазон представлений буквою R, а дані представлені x, то формула діапазону проста:

R = x _max - x _min

Де x _max - максимальне значення даних, а x _min - мінімальне.

Рисунок 1. Діапазон даних, що відповідають населенню Кадіса за останні два століття. Джерело: Wikimedia Commons.

Концепція дуже корисна як простий показник дисперсії для швидкого оцінювання мінливості даних, оскільки вона вказує на продовження або тривалість інтервалу, де вони знайдені.

Наприклад, припустимо, що в університеті вимірюється зріст групи з 25 студентів-першокурсників-чоловіків в університеті. Найвищий учень у групі - 1,93 м, а найкоротший - 1,67 м. Це крайні значення вибіркових даних, тому їх шлях:

R = 1,93 - 1,67 м = 0,26 м або 26 див.

Висота учнів цієї групи розподіляється за цим діапазоном.

Переваги і недоліки

Як ми говорили раніше, діапазон - це міра поширення даних. Невеликий діапазон вказує на те, що дані більш-менш близькі, а розкид низький. З іншого боку, більший діапазон свідчить про те, що дані є більш розповсюдженими.

Переваги обчислення діапазону очевидні: знайти його дуже легко і швидко, оскільки це проста різниця.

Він також має ті самі одиниці, що і дані, з якими він працює, і концепцію дуже легко інтерпретувати для будь-якого спостерігача.

У прикладі висоти студентів-інженерів, якби діапазон становив 5 см, ми б сказали, що всі студенти приблизно однакового розміру. Але з діапазоном 26 см ми відразу припускаємо, що в зразку є учні всіх проміжних висот. Чи завжди це припущення правильне?

Недоліки дальності як міра дисперсності

Якщо ми уважно подивимось, то, можливо, у нашому зразку з 25 студентів-інженерів лише один з них вимірює 1,93, а решта 24 мають висоту, близьку до 1,67 м.

І все ж дальність залишається такою ж, хоча цілком можливе протилежне: висота більшості становить близько 1,90 м, а лише одна - 1,67 м.

У будь-якому випадку розподіл даних зовсім інший.

Недоліки діапазону як міри розповсюдження полягають у тому, що він використовує лише крайні значення та ігнорує всі інші. Оскільки більша частина інформації втрачається, ви не знаєте, як розподіляються вибіркові дані.

Ще однією важливою характеристикою є те, що діапазон зразка ніколи не зменшується. Якщо ми додамо більше інформації, тобто розглянемо більше даних, діапазон збільшується або залишається таким же.

І в будь-якому випадку він корисний лише при роботі з невеликими зразками, його єдине використання як міра дисперсності у великих зразках не рекомендується.

Що потрібно зробити, це доповнити його обчисленням інших мір диспергування, які враховують інформацію, надану сумарними даними: міжквартильний діапазон, дисперсія, стандартне відхилення та коефіцієнт зміни.

Міжквартильний асортимент, квартілі та приклад, що працював

Ми зрозуміли, що слабкість діапазону як міри дисперсії полягає в тому, що він використовує лише крайні значення розподілу даних, опускаючи інші.

Щоб уникнути цієї незручності, використовуються квартілі: три значення, відомі як міри позиції.

Вони поширюють негруповані дані на чотири частини (іншими широко застосовуваними мірами позиції є децили та відсотки). Це його характеристики:

-Перший чверть Q ₁ - це значення таких даних, що 25% усіх них менше Q ₁ .

-Другий квартал Q ₂ є медіаною розподілу, що означає, що половина (50%) даних менша за це значення.

-Зрештою, третій квартал Q ₃ вказує, що 75% даних менше, ніж Q ₃ .

Тоді міжквартильний діапазон або міжквартильний діапазон визначається як різниця між третім кварталом Q ₃ і першим кватилем Q ₁ даних:

Міжквартильний діапазон = R _Q = Q ₃ - Q ₁

Таким чином, на значення діапазону R _Q не так впливають екстремальні значення. З цієї причини доцільно використовувати його при роботі з перекошеними розподілами, такими як описані вище дуже високі або дуже короткі студенти.

- Розрахунок квартилів

Існує кілька способів їх обчислення, тут ми запропонуємо один, але в будь-якому випадку необхідно знати номер замовлення "N _o ", яке місце займає відповідний квартал у розподілі.

Тобто, якщо, наприклад, термін, що відповідає Q _1, є другим, третім чи четвертим і так далі розподілу.

Перший квартал

N _або (Q ₁ ) = (N + 1) / 4

Другий квартал або медіана

N _або (Q ₂ ) = (N + 1) / 2

Третій квартал

N _або (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4

Де N - кількість даних.

Медіана - це значення, яке знаходиться прямо в середині розподілу. Якщо кількість даних непарне, немає проблеми в їх знаходженні, але якщо це парне, то два центральних значення усереднюються, щоб стати єдиними.

Після підрахунку номера замовлення виконується одне з цих трьох правил:

-Якщо не буде десяткових знаків, шукаються дані, вказані в дистрибутиві, і це буде шуканий четверть.

-Коли номер замовлення знаходиться на півдорозі між двома, тоді дані, позначені цілою частиною, усереднюються із наступними даними, а результат - відповідним четвером.

-У будь-якому іншому випадку воно округляється до найближчого цілого числа, і це буде позиція четвертилу.

Працював приклад

За шкалою від 0 до 20 група з 16 студентів з математики I на середньотерміновому іспиті отримала такі бали (бали):

16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14

Знайти:

а) Діапазон або діапазон даних.

б) Значення квартілів Q ₁ і Q ₃

в) Міжквартильний діапазон.

Малюнок 2. Чи мають бали на цьому тесті з математики стільки варіабельності? Джерело: Pixabay.

Рішення для

Перше, що потрібно зробити для пошуку маршруту - це замовлення даних у порядку збільшення чи зменшення. Наприклад, для збільшення порядку у вас є:

1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

Використовуючи формулу, подану на початку: R = x _max - x _min

R = 20 - 1 бал = 19 балів.

За результатами, ці рейтинги мають велику дисперсію.

Рішення b

N = 16

N _або (Q ₁ ) = (N + 1) / 4 = (16 + 1) / 4 = 17/4 = 4,25

Це число з десятковими знаками, ціла частина якого дорівнює 4. Потім переходимо до розподілу, шукаємо дані, які займають четверте місце, і його значення усереднюється з значенням п’ятої позиції. Оскільки їх обох 9, в середньому також 9 і так:

Q ₁ = 9

Тепер ми повторимо процедуру пошуку Q ₃ :

N _або (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4 = 3 (16 +1) / 4 = 12,75

Знову це десятковий знак, але оскільки він не знаходиться на половині шляху, він округляється до 13. Квартил, що шукається, займає тринадцяте місце і становить:

Q ₃ = 16

Розв’язання c

R _Q = Q ₃ - Q ₁ = 16 - 9 = 7 балів.

Що, як ми бачимо, набагато менше, ніж діапазон даних, обчислений у розділі а), оскільки мінімальний бал становив 1 бал, значення набагато далі від решти.

Список літератури

1. Беренсон, М. 1985. Статистика для менеджменту та економіки. Interamericana SA
2. Canavos, G. 1988. Імовірність та статистика: Застосування та методи. McGraw Hill.
3. Devore, J. 2012. Імовірність та статистика для інженерії та науки. 8-й. Видання. Візьміть на себе.
4. Приклади квартилів. Відновлено з: matematicas10.net.
5. Левін, Р. 1988. Статистика для адміністраторів. 2-й. Видання. Prentice Hall.
6. Walpole, R. 2007. Вірогідність та статистика для інженерії та наук. Пірсон.