КВАДРАТНІ ПОСЛІДОВНОСТІ: ПРИКЛАДИ, ПРАВИЛА ТА РОЗВ’ЯЗАНІ ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

У Квадратичні сукцессии , в математичних термінах, складаються з послідовностей чисел , які слідують певним правилом арифметики. Цікаво знати це правило, щоб визначити будь-який із членів послідовності.

Один із способів зробити це - визначити різницю між двома послідовними членами і побачити, чи завжди отримане значення повторюється. Коли це так, кажуть, що це регулярна послідовність.

Числові послідовності - це спосіб організації послідовностей чисел. Джерело: pixabay.com

Але якщо воно не повториться, то можна спробувати вивчити різницю між різницями і побачити, чи є це значення постійним. Якщо так, то це квадратична послідовність .

Приклади регулярних послідовностей і квадратичних послідовностей

Наступні приклади допомагають уточнити, що було пояснено досі:

Приклад регулярного правонаступництва

Нехай послідовність S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Ця послідовність, позначена S, - це нескінченна множина, у даному випадку цілих чисел.

Видно, що це регулярна послідовність, тому що кожен доданок отримується додаванням 3 до попереднього члена або елемента:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Іншими словами: ця послідовність є регулярною, оскільки різниця між наступним терміном і попереднім дає фіксовану величину. У наведеному прикладі це значення дорівнює 3.

Регулярні послідовності, які отримуються додаванням фіксованої кількості до попереднього члена, також називаються арифметичними прогресіями. А різниця —константа - між послідовними доданками називається співвідношенням і позначається як R.

Приклад нерегулярної та квадратичної послідовності

Дивіться тепер таку послідовність:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

При обчисленні послідовних різниць виходять такі значення:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Їх відмінності не постійні, тому можна сказати, що це НЕ регулярна послідовність.

Однак якщо ми розглянемо набір відмінностей, ми маємо іншу послідовність, яку будемо позначати як S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Ця нова послідовність справді є звичайною послідовністю, оскільки кожен доданок отримується шляхом додавання фіксованого значення R = 2 до попереднього. Ось чому ми можемо стверджувати, що S - квадратична послідовність.

Загальне правило побудови квадратичної послідовності

Існує загальна формула для побудови квадратичної послідовності:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

У цій формулі T _n - термін у положенні n послідовності. A, B і C - це фіксовані значення, тоді як n змінюється по черзі, тобто 1, 2, 3, 4, …

У послідовності S попереднього прикладу A = 1, B = 1 і C = 0. Звідси випливає, що формула, яка генерує всі доданки, є: T _n = n ² + n

Тобто:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Різниця між двома послідовними членами квадратичної послідовності

T _{n + 1} - T _n = -

Розвиток виразу через чудовий продукт залишається:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Спростивши його, ви отримаєте:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Це формула, яка дає послідовність відмінностей S _Dif, яку можна записати так:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Де чітко наступний термін - 2 ∙ Іноді попередній. Тобто співвідношення послідовності різниць S _diff становить: R = 2 ∙ A.

Вирішили задачі квадратичної послідовності

Вправа 1

Нехай послідовність S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Визначте, чи:

і) це регулярно чи ні

ii) квадратична чи ні

iii) Це було квадратичне, послідовність відмінностей та їх співвідношення

Відповіді

i) Обчислимо різницю між наступними та попередніми умовами:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Можна підтвердити, що послідовність S не є регулярною, оскільки різниця між послідовними доданками не є постійною.

ii) Послідовність відмінностей регулярна, тому що різниця між її членами є постійною величиною 2. Отже, вихідна послідовність S є квадратичною.

iii) Ми вже визначили, що S квадратична, послідовність відмінностей така:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} і його відношення R = 2.

Вправа 2

Нехай послідовність S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} з попереднього прикладу, де було перевірено, що вона квадратична. Визначте:

і) Формула, яка визначає загальний термін T _n.

ii) Перевірте третій та п'ятий доданки.

iii) значення десятого терміну.

Відповіді

i) Загальна формула T _n - A ∙ n ² + B ∙ n + C. Тоді залишається знати значення A, B і C.

Послідовність відмінностей має відношення 2. Крім того, для будь-якої квадратичної послідовності відношення R дорівнює 2 ∙ A, як показано в попередніх розділах.

R = 2 ∙ A = 2, що підводить нас до висновку, що A = 1.

Перший член послідовності відмінностей S _Dif дорівнює 2 і повинен задовольняти A ∙ (2n + 1) + B, при n = 1 і A = 1, тобто:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

розв’язуючи для B, отримуємо: B = -1

Тоді перший член S (n = 1) вартує 1, тобто: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Як ми вже знаємо, що A = 1 і B = -1, замінюючи, маємо:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Розв’язуючи для C, ми отримуємо його значення: C = 1.

Підсумовуючи:

A = 1, B = -1 і C = 1

Тоді n-й доданок буде T _n = n ² - n + 1

ii) Третій член T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 і він перевірений. П'ятий T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, що також перевірено.

iii) Десятий додаток буде T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Вправа 3

Послідовність напрямів вправи 3. Джерело: власна розробка.

На малюнку показана послідовність з п'яти фігур. Решітка представляє одиницю довжини.

і) Визначте послідовність для площі фігур.

ii) Покажіть, що це квадратична послідовність.

iii) Знайдіть площу малюнка №10 (не показано).

Відповіді

i) Послідовність S, що відповідає площі послідовності фігур, є:

S = {0, 2, 6, 12, 20,. . . . . }

ii) Послідовність, що відповідає послідовним відмінностям доданків S, є:

S _розм. = {2, 4, 6, 8,. . . . . }

Оскільки різниця між послідовними членами не є постійною, то S не є регулярною послідовністю. Залишається знати, чи вона квадратична, для чого ми знову робимо послідовність відмінностей, отримуючи:

{2, 2, 2, …….}

Оскільки всі члени послідовності повторюються, підтверджується, що S - квадратична послідовність.

iii) Послідовність S _dif є регулярною і її відношення R дорівнює 2. Використовуючи рівняння, показане вище R = 2 ∙ A, залишається:

2 = 2 ∙ A, з чого випливає, що A = 1.

Другий член послідовності відмінностей S _Dif дорівнює 4, а n-й член S _Dif -

A ∙ (2n + 1) + B.

Другий доданок має n = 2. Крім того, вже визначено, що A = 1, тому, використовуючи попереднє рівняння і підставляючи, ми маємо:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Розв’язуючи B, отримуємо: B = -1.

Відомо, що другий член S стоїть 2 і що він повинен відповідати формулі загального члена з n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; А = 1; B = -1; T ₂ = 2

Тобто

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Зроблено висновок, що C = 0, тобто, формула, яка дає загальний член послідовності S, є:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Тепер перевіряється п'ятий термін:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) На малюнку № 10, який тут не намальований, буде розміщена площа, що відповідає десятому члену послідовності S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Список літератури

1. https://www.geogebra.org