ПРИЙОМИ ПІДРАХУНКУ: ПРИЙОМИ, ДОДАТКИ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - ДУДИ - 2025

Методи підрахунку - це ряд методів ймовірності підрахунку кількості можливих домовленостей у межах набору або декількох наборів об'єктів. Вони використовуються, коли ведення рахунків вручну ускладнюється через велику кількість об'єктів та / або змінних.

Наприклад, рішення цієї проблеми дуже просте: уявіть, що ваш начальник просить вас порахувати останні продукти, які надійшли за останню годину. У цьому випадку ви можете піти і порахувати продукти по черзі.

Однак уявіть, що проблема полягає в цьому: ваш начальник просить порахувати, скільки груп із 5 продуктів одного типу можна сформувати з тими, що надійшли за останню годину. У цьому випадку розрахунок є складним. Для такого типу ситуації застосовуються так звані методи підрахунку.

Ці методи різні, але найважливіші поділяються на два основні принципи, які є мультиплікативним та адитивним; перестановки та комбінації.

Мультиплікативний принцип

Програми

Принцип мультиплікації разом з добавкою є основними для розуміння роботи техніки підрахунку. Що стосується мультиплікативного, він складається з наступного:

Давайте уявимо собі діяльність, яка передбачає певну кількість кроків (ми позначаємо загальну як "r"), де перший крок можна зробити N1 способом, другий крок N2, а крок "r" - Nr. У цьому випадку активність може бути здійснена з числа фігур, отриманих в результаті цієї операції: N1 x N2 x ……… .x Nr фігур

Ось чому цей принцип називають мультипликативним, і він передбачає, що кожен та кожний із кроків, необхідних для здійснення діяльності, повинен здійснюватися один за одним.

Приклад

Уявімо собі людину, яка хоче побудувати школу. Для цього врахуйте, що основу будівлі можна будувати двома різними способами, цементними або бетонними. Що стосується стін, то вони можуть бути виготовлені з гноя, цементу або цегли.

Що стосується покрівлі, то вона може бути виготовлена ​​з цементу або оцинкованого листа. Нарешті, остаточне фарбування можна зробити лише одним способом. Питання, що виникає, наступне: Скільки способів він має побудувати в школі?

Спочатку ми розглядаємо кількість ступенів, якими були б підстава, стіни, дах і фарба. Всього 4 кроки, тому r = 4.

Наступним було б перерахувати N:

N1 = способи побудови основи = 2

N2 = способи побудови стін = 3

N3 = способи виготовлення даху = 2

N4 = способи фарбування = 1

Тому кількість можливих фігур буде обчислена за формулою, описаною вище:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 способів навчання в школі.

Принцип добавки

Програми

Цей принцип дуже простий і полягає в тому, що у випадку наявності декількох альтернатив для здійснення однієї і тієї ж діяльності можливі способи складаються з суми різних можливих способів здійснити всі альтернативи.

Іншими словами, якщо ми хочемо здійснити діяльність з трьома альтернативами, де перша альтернатива може бути виконана М способами, друга - N способами, а остання - W способами, діяльність може бути виконана: M + N + ……… + W форми.

Приклад

Давайте уявимо цього разу людину, яка хоче придбати тенісну ракетку. Для цього у вас є три торгові марки: Wilson, Babolat або Head.

Заходячи до магазину, ви бачите, що ракетку Wilson можна придбати за ручку двох різних розмірів, L2 або L3 у чотирьох різних моделях, і їх можна нанизати або відкрутити.

Ракетка Babolat, з іншого боку, має три ручки (L1, L2 і L3), є дві різні моделі, і її також можна нанизати або відкрутити.

Ракетка Head, зі свого боку, доступна лише з однією ручкою, L2, у двох різних моделях і лише розкручена. Питання: Скільки способів має ця людина купити свою ракетку?

M = кількість способів вибору ракетки Вілсона

N = Кількість способів вибору ракетки Babolat

W = кількість способів вибору головної ракетки

Ми виконуємо принцип множника:

M = 2 x 4 x 2 = 16 фігур

N = 3 x 2 x 2 = 12 способів

W = 1 x 2 x 1 = 2 способи

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 способів вибору ракетки.

Щоб знати, коли використовувати мультиплікативний принцип та добавку, потрібно лише подивитися, чи є у діяльності ряд кроків для виконання, і якщо є кілька альтернативних варіантів - добавка.

Перестановки

Програми

Щоб зрозуміти, що таке перестановка, важливо пояснити, що таке комбінація, щоб ви могли їх диференціювати і знати, коли їх використовувати.

Комбінацією було б розташування елементів, в яких нас не цікавить положення, яке займає кожен з них.

Перестановка, з іншого боку, буде розташуванням елементів, в яких нас цікавить положення, яке займає кожен з них.

Наведемо приклад, щоб краще зрозуміти різницю.

Приклад

Давайте уявимо клас з 35 учнями та з такими ситуаціями:

1. Вчитель хоче, щоб троє його учнів допомогли йому зберегти аудиторію в чистоті або роздавали матеріали іншим учням, коли це було необхідно.
2. Вчитель хоче призначити делегатів класу (президента, помічника та фінансиста).

Рішенням було б таке:

1. Уявімо, що за допомогою голосування Хуан, Марія та Лусія обираються для прибирання класу чи доставки матеріалів. Очевидно, могли бути сформовані інші групи з трьох осіб, серед 35 можливих студентів.

Ми повинні запитати себе в наступному: чи важливий порядок чи положення кожного учня при їх виборі?

Якщо ми подумаємо про це, ми побачимо, що це насправді не важливо, оскільки група буде відповідати за два завдання однаково. У цьому випадку це комбінація, оскільки нас не цікавить положення елементів.

1. Тепер давайте уявимо, що Хуана обирають президентом, Марію - помічником, а Лусію - фінансистом.

У цьому випадку, чи має значення порядок? Відповідь - так, тому що якщо ми змінимо елементи, результат зміниться. Тобто, якщо замість того, щоб Хуана поставити президентом, ми поставимо його за помічника, а Марію - президентом, остаточний результат змінився б. У цьому випадку це перестановка.

Як тільки різниця буде зрозуміла, ми збираємося отримати формули перестановок та комбінацій. Однак спочатку ми повинні визначити термін "n!" (ene factorial), оскільки він буде використовуватися в різних формулах.

n! = добуток від 1 до n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Використовуючи його з реальними числами:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3,628,800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Формула перестановок була б такою:

nPr = n! / (nr)!

З його допомогою ми можемо з’ясувати домовленості, де порядок важливий, а де n елементів різняться.

Комбінації

Програми

Як ми вже коментували раніше, комбінації - це домовленості, де нам не байдуже положення елементів.

Його формула така:

nCr = n! / (nr)! r!

Приклад

Якщо є 14 студентів, які хочуть добровільно прибирати аудиторію, то скільки прибиральних груп може бути сформовано, якщо в кожній групі має бути 5 осіб?

Тому рішенням було б таке:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 х 13 х 12 х 11 х 10 х 9! / 9! 5! = 2002 групи

Розв’язані вправи

Вправа 1

Джерело: Pixabay.com

Наталія просить маму сходити до продуктового магазину та придбати соду, щоб вона охолола. Коли Наталія просить у ділової кави випити, він каже їй, що є чотири смаки безалкогольних напоїв, три типи та три розміри.

Ароматизатори безалкогольних напоїв можуть бути: кола, лимон, апельсин і м'ята.

Види кола можуть бути: звичайна, без цукру, без кофеїну.

Розміри можуть бути: малі, середні та великі.

Мати Наталії не уточнила, якого безалкогольного напою вона хотіла Скільки способів Наталії потрібно придбати напій?

Рішення

M = номер розміру та типу, який можна вибрати при виборі кола.

N = Кількість розміру та типу, які ви можете вибрати, вибираючи соду лимона.

W = Розмір і номер типу, який ви можете вибрати при виборі апельсинової соди.

Y = Номер розміру та типу, який ви можете вибрати, вибираючи свою м'яту соду.

Ми виконуємо принцип множника:

М = 3 × 3 = 9 способів

N = 3 × 3 = 9 способів

W = 3 × 3 = 9 способів

Y = 3 × 3 = 9 способів

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 способів вибору соди.

Вправа 2

Джерело: pixabay.com

Спортивний клуб рекламує безкоштовні заняття для дітей, щоб навчитися кататися на ковзанах. Налічується 20 дітей, тому вони вирішують розділити їх на дві групи по десять людей, щоб інструктори могли викладати заняття більш комфортно.

У свою чергу вони вирішують намалювати, в яку групу потрапить кожна дитина. Скільки різних груп могла б увійти дитина?

Рішення

У цьому випадку спосіб знайти відповідь - через комбіновану техніку, формулою якої було: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (кількість дітей)

r = 10 (розмір групи)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 х 19 х 18 х 17 х 16 х 15х 14х 13х 12х 11х 10! / 10! 10! = 184 756 груп.

Список літератури

1. Джефрі, Каліфорнія, Вірогідність та мистецтво судження, Кембриджський університетський прес. (1992).
2. Вільям Феллер, "Вступ до теорії ймовірностей та її застосування", (т. 1), 3-е видання, (1968), Вілі
3. Фінетті, Бруно де (1970). "Логічні основи та вимірювання суб'єктивної ймовірності". Acta Psychologica.
4. Хогг, Роберт V .; Крейг, Аллен; МакКін, Джозеф В. (2004). Вступ до математичної статистики (6-е видання). Річка верхнього сідла: Пірсон.
5. Франклін, Дж. (2001) Наука про концепцію: докази та ймовірність перед Паскалем, University Press Press Johns Hopkins.