ТЕОРІЯ ЧЕРГ: ІСТОРІЯ, МОДЕЛЬ, ДЛЯ ЧОГО ЦЕ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Теорія черг - це галузь математики, яка вивчає явища та поведінку в черзі. Вони визначаються, коли користувач, який вимагає певної послуги, вирішує чекати, коли сервер буде оброблений.

Вивчіть елементи, які присутні у рядках очікування будь-якого типу, чи це людські елементи, чи обробка даних чи операції. Його висновки мають постійне застосування у виробничих, реєстраційних та обробних лініях.

Шрифт Pexels

Його значення служать у параметризації процесів до їх реалізації, слугуючи ключовим організаційним елементом правильного управління плануванням.

Історія

Основною відповідальністю за його розвиток став математик походження Данії Агнер Крамп Ерланг, який працював у телекомунікаційній компанії Копенгагенської телефонної станції.

Агнер зазначив, що зростаючі потреби виникають у системі надання телефонних послуг компанії. Саме тому розпочалося вивчення математичних явищ, які можна було б оцінити кількісно в системі очікування.

Його першою офіційною публікацією була стаття під назвою "Теорія черги", яка була опублікована в 1909 р. Його увага була зосереджена в основному на проблемі розміщення ліній і центрів комутації телефонних служб для обслуговування дзвінків.

Модель та елементи

Існують різні моделі черг, де деякі аспекти відповідають за визначення та характеристику кожного з них. Перед визначенням моделей представлені елементи, що складають кожну модель черги.

-Елементи

Джерело в'їзду або потенційне населення

Це набір можливих претендентів на послугу. Це стосується будь-якого типу змінної, від користувачів людини до наборів пакетів даних. Вони класифікуються на кінцеві та нескінченні, залежно від характеру набору.

Хвіст

Це стосується набору елементів, які вже є частиною сервісної системи. Які вже домовились чекати доступності оператора. Вони в стані очікування системних резолюцій.

-Хвостова система

Він складається з тріади, утвореної чергою, механізмом обслуговування та дисципліною черги. Він надає структуру системному протоколу, керуючи критеріями вибору елементів у черзі.

- Механізм обслуговування

Це процес, за допомогою якого надається послуга кожному користувачеві.

-Клієнт

Це будь-який елемент, що належить до потенційного населення, який вимагає послуги. Важливо знати швидкість входу клієнтів, а також ймовірність того, що джерело має їх генерувати.

-Місткість черги

Це стосується максимальної місткості предметів, які можуть чекати, щоб їх подали. Його можна вважати скінченним або нескінченним, будучи в більшості випадків нескінченним за критеріями практичності.

-Дисципліна черги

Це протокол, за яким визначається порядок, в якому обслуговується клієнт. Він служить каналом обробки та замовлення для користувачів, відповідаючи за їх розміщення та переміщення в черзі. Відповідно до ваших критеріїв, він може бути різного типу.

- FIFO: З абревіатури англійською мовою First in first out, також відомий як FCFS first come first serve. Що означає, відповідно, Перший на першому виході та Перший на першому, який потрібно подати. Обидві форми позначають, що перший клієнт, який приїде, буде першим, хто отримав обслуговування.

- LIFO: Останній в першому вийшов також відомий як стек або LCFS останній прийшов перший сервіс. Там, де клієнт, який прибув останнім, обслуговується першим.

- RSS: Випадковий вибір послуги, який також називається послугою SIRO у випадковому порядку, де клієнтів вибирають відповідно до випадкових або випадкових критеріїв.

Моделі

Є три аспекти, які керують моделлю черги, яку слід розглянути. Це такі:

- Розподіл часу між прибуттями: відноситься до швидкості, з якою одиниці додаються до черги. Вони є функціональними значеннями і підлягають різним змінним залежно від їх характеру.

- Розподіл часу обслуговування: час, який сервер використовує для обробки послуги, яку вимагає клієнт. Він змінюється залежно від кількості встановлених операцій або процедур.

Ці два аспекти можуть приймати такі значення:

М: експоненціальний експоненціальний розподіл (Марковіана).

D: Вироджене розподіл (постійний час).

E _k : розподіл Ерланга з параметром форми k.

G: Загальний розподіл (будь-який розподіл).

- Кількість серверів: сервісні ворота відкриті та доступні для обробки клієнтів. Вони є важливими при структурному визначенні кожної моделі черги.

Таким чином визначаються моделі черги, спочатку беруть ініціали великими літерами розподілу часу прибуття та розподілу часу обслуговування. Нарешті, вивчається кількість серверів.

Досить поширений приклад - MM 1, який стосується експоненціального типу розподілу часу прибуття та обслуговування під час роботи з одним сервером.

Іншими типами моделей черг є MM s, MG 1, ME 1, DM 1, серед інших.

Типи систем черги

Існує кілька типів систем черги, де кілька змінних служать індикаторами представленого типу системи. Але принципово це регулюється кількістю черг та кількістю серверів. Також застосовується лінійна структура, якій піддається користувач для отримання послуги.

- Черга та сервер. Це звичайна структура, де користувач через систему приходу входить у чергу, де після завершення свого очікування відповідно до дисципліни черги, і обробляється єдиним сервером.

- Одна черга та кілька серверів. Після закінчення часу очікування користувач може перейти на різні сервери, які можуть бути виконавцями одних і тих же процесів, а також вони можуть бути приватними для різних процедур.

- Кілька черг і кілька серверів. Структуру можна розділити на різні процеси або служити широким каналом для покриття високого попиту на спільне обслуговування.

- Черга з послідовними серверами. Користувачі проходять різні етапи. Вони входять і займають місце в черзі, і коли їх обслуговує перший сервер, вони переходять до нового етапу, який вимагає попередніх виконань, виконаних у першій службі.

Термінологія

- λ: Цей символ (лямбда) представляє в теорії черг очікуване значення входів за часовий інтервал.

- 1 / λ: відповідає очікуваному значенню між часом прийому кожного користувача, який входить у систему.

- μ: Символ Mu відповідає очікуваній кількості клієнтів, які завершують послугу за одиницю часу. Це стосується кожного сервера.

- 1 / мк: час обслуговування, очікуваний системою.

- ρ: Символ Rho позначає коефіцієнт використання сервера. Він використовується для вимірювання того, скільки часу сервер буде зайнятий обробкою користувачів.

ρ = λ / sμ

Якщо p> 1, система буде тимчасовою, вона буде, як правило, зростати, тому що коефіцієнт корисності сервера нижчий за кількість користувачів, які входять до системи.

Якщо p <1 система залишиться стабільною.

Для чого теорія

Він створений з метою оптимізації процесів надання телефонних послуг. Це обмежує корисність щодо явищ ліній очікування, де прагнуть зменшити значення часу та скасувати будь-який тип переробки чи надмірного процесу, що уповільнює процес користувачів та операторів.

Шрифт Pexels

На більш складних рівнях, де вхідні та службові змінні приймають змішані значення, обчислення, проведені поза теорією черги, майже немислимі. Формули, надані теорією, відкрили розширене обчислення в цій галузі.

Елементи, присутні у формулах

- Pn: значення, що стосується ймовірності того, що “n” одиниці знаходяться в системі.

- Lq: довжина черги або середнє значення користувачів у ній.

- Ls: середнє значення одиниць у системі.

- Wq: середня норма очікування в черзі.

- Ws: середній рівень очікування в системі.

- _λ: середня кількість клієнтів, які входять у послугу.

- Ws (t): значення, що відноситься до ймовірності того, що клієнт залишається більше, ніж «t» одиниць у системі.

- Wq (t): значення, що посилається на ймовірність того, що у клієнта залишається більше, ніж «t» одиниць у черзі.

Приклади

У реєстрі є єдиний сервер для обробки паспортів користувачів, які приходять. В середньому 35 користувачів на годину відвідують реєстр. Сервер має потужність обслуговувати 45 користувачів на годину. Раніше відомо, що користувачі проводять у черзі в середньому 5 хвилин.

Ти хочеш знати:

1. Середній час, який кожен користувач витрачає на систему
2. Середня кількість клієнтів у черзі

У нас λ = 35/45 Клієнти / хвилини

μ = 45/60 клієнтів / хв

Wq = 5 хвилин

Частина А

Середній час у системі можна обчислити з Ws

Ws = Wq + 1 / мк = 5 хв + 1,33 = 6,33 хв

Таким чином визначається загальний час перебування користувача в системі, де 5 хвилин буде в черзі і 1,33 хвилини з сервером.

Частина b

Lq = λ x Wq

Lq = (0,78 клієнтів хвилин) x (5 хвилин) = 3,89 клієнта

У черзі одночасно може бути більше 3 клієнтів.

Список літератури

1. Управління операціями. Редакція Вертіс, 16 квіт. 2007 рік
2. Теорія черг чи лінія очікування. Герман Альберто Кордоба Барахона. Pontificia Universidad Javeriana, 2002
3. Теорія систем вирішила проблеми. Роберто Санчіс Льопис. Публікації Universitat Jaume I, 2002
4. Кількісні методи організації виробництва II. Джоан Баптиста Фоноллоза Гардієт, Хосе Марія Саллан Закони, Альберт Суньє Торрент. Ун-т політ. з Каталонії, 2009
5. Теорія інвентаризації та її застосування. Редакція Pax-México, 1967