ТЕОРІЯ МНОЖИН: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ЕЛЕМЕНТИ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Теорія множин є гілкою математичної логіки-яка відповідає за вивчення відносин між суб'єктами , які називаються множинами. Набори характеризуються тим, що є колекціями предметів одного характеру. Згадані об'єкти - це елементи набору і можуть бути: цифри, літери, геометричні фігури, слова, що представляють предмети, самі предмети та інші.

Саме Георг Кантор наприкінці 19 століття запропонував теорію множин. У той час як інші помітні математики в 20 столітті зробили свою формалізацію: Готтлоб Фреге, Ернст Зермело, Бертран Рассел, Адольф Френкел серед інших.

Рисунок 1. Діаграма Венна множин A, B та їх перетину A⋂ B. (Власна розробка).

Діаграми Венна - це графічний спосіб представлення множини, і він складається із закритої плоскої фігури, всередині якої знаходяться елементи множини.

Наприклад, на малюнку 1 показані два множини A і B, які мають спільні елементи, спільні для A і B. Ці форми утворюють новий набір під назвою набір перетину A і B, який записаний у формі символічне наступним чином:

A ∩ B

характеристики

Множина - це примітивне поняття, оскільки це в геометрії поняття точки, лінії чи площини. Немає кращого способу висловити поняття, ніж наведення прикладів:

Набір E утворений кольорами прапора Іспанії. Цей спосіб вираження множини називається осмисленням. Той самий набір E, записаний розширенням, є:

E = {червоний, жовтий}

У цьому випадку червоний і жовтий - це елементи множини E. Слід зазначити, що елементи перераховані в дужки і не повторюються. У випадку з іспанським прапором є три кольорові смуги (червона, жовта, червона), дві з яких повторюються, але елементи не повторюються, коли виражено ціле.

Припустимо, множина V утворена першими трьома голосними літерами:

V = {a, e, i}

Набір потужності V, позначений P (V) - це множина всіх множин, які можна сформувати з елементами V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Види наборів

Кінцевий набір

Це сукупність, в якій його елементи піддаються обліку. Прикладами кінцевих множин є літери іспанського алфавіту, голосні іспанські, планети Сонячної системи, серед інших. Кількість елементів у кінцевій множині називається його кардинальністю.

Нескінченний набір

Нескінченна множина - це все, що кількість її елементів незлічувальна, оскільки якою б великою не була кількість її елементів, завжди можна знайти більше елементів.

Прикладом нескінченної множини є множина натуральних чисел N, яка в розширеній формі виражається так:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Очевидно нескінченна множина, оскільки якою б великою не була натуральна кількість, наступне найбільше завжди можна знайти в нескінченному процесі. Очевидно, що кардинальність нескінченного безлічі дорівнює ∞.

Порожній набір

Це безліч, який не містить жодного елемента. Порожній набір V позначається Ø або парою клавіш без елементів всередині:

V = {} = Ø.

Порожній набір унікальний, тому потрібно неправильно говорити "порожній набір", правильна форма - сказати "порожній набір".

Серед властивостей порожнього набору маємо, що це підмножина будь-якого набору:

Ø ⊂ A

Крім того, якщо множина є підмножиною порожнього набору, то обов'язково зазначеним набором буде вакуум:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Унітарний набір

Набір одиниць - це будь-який набір, який містить один елемент. Наприклад, сукупність природних супутників Землі - це унітарна сукупність, єдиним елементом якої є Місяць. Множина B цілих чисел, менших ніж 2 і більше нуля, має лише елемент 1, тому це одиниця множини.

Бінарний набір

Набір є двійковим, якщо він містить лише два елементи. Наприклад, множина X, така, що x є рішенням дійсного числа x ^ 2 = 2. Цей множина шляхом розширення записується так:

X = {-√2, + √2}

Універсальний комплект

Універсальний набір - це набір, який містить інші набори того ж типу або характеру. Наприклад, універсальний набір натуральних чисел - це множина дійсних чисел. Але реальні числа - це універсальна множина також цілих чисел і раціональних чисел.

Основні елементи

- Відносини між множинами

В зборах між ними та їх елементами можуть встановлюватися різні типи взаємовідносин. Якщо два множини A і B мають однакові елементи між собою, встановлюється співвідношення рівності і позначається так:

А = В

Якщо всі елементи множини A належать множині B, але не всі елементи B належать A, то між цими множинами існує відношення включення, яке позначається так:

A ⊂ B, але B ⊄ A

Вищенаведений вираз звучить так: A - це підмножина B, але B не є підмножиною A.

Щоб вказати, що якийсь елемент або елементи належать до набору, використовується символ належності ∈, наприклад, щоб сказати, що x елемент або елементи належать множині A, пишеться символічно так:

x ∈ A

Якщо елемент не належить до множини A, це відношення записується так:

і ∉ A

Співвідношення членства існує між елементами множини і безліччю, за винятком виключно набору потужності, при цьому набір потужності є сукупністю або безліччю всіх можливих наборів, які можуть бути сформовані з елементами зазначеного набору.

Припустимо, V = {a, e, i}, його потужність встановлена ​​P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, у цьому випадку множина V стає елементом множини P (V) і може бути записана:

V ∈ P (V)

- Властивості включення

Перша властивість включення встановлює, що кожен набір міститься в собі, або іншими словами, що він є самим підмножиною:

А ⊂ А

Інша властивість включення - транзитивність: якщо A є підмножиною B, а B в свою чергу є підмножиною C, то A є підмножиною C. У символічній формі відношення перехідності записується так:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Нижче наведена діаграма Венна, що відповідає транзитивності включення:

Малюнок 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Операції між множинами

Перехрестя

Перетин - це операція між двома множинами, яка породжує нову множину, що належить тому ж універсальному набору, що і перші два. У цьому сенсі це закрита операція.

Символічно операція перетину формулюється так:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Прикладом може слугувати такий: набір букв A у словах «елементи» та набір B літер слова «повторюється», перетин між A і B пишеться так:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Універсальний набір U з A, B і також A⋂B - це безліч букв іспанського алфавіту.

Союз

Об’єднання двох множин - це множина, утворена елементами, спільними для двох множин, і незвичайними елементами двох множин. Операція об'єднання між множинами виражається символічно так:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Різниця

Різниця операції множини A мінус множина B позначається AB. AB - це новий набір, утворений усіма елементами, що знаходяться в A і які не належать до B. Символічно це написано так:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Малюнок 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Симетрична різниця

Симетрична різниця - це операція між двома множинами, де отриманий набір складається з елементів, не спільних для двох множин. Симетрична різниця символічно представлена ​​так:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Приклади

Приклад 1

Діаграма Венна - це графічний спосіб представлення множин. Наприклад, множина букв С у наборі слів представлена ​​так:

Приклад 2

На діаграмах Венна нижче показано, що набір голосних у слові "set" є підмножиною набору букв у слові "set".

Приклад 3

Безліч ЦТС букви іспанського алфавіту є кінцеве безліч, це безліч висунення записується в такий спосіб:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} і його кардинальність дорівнює 27.

Приклад 4

Множина V голосних іспанською мовою є підмножиною множини Ñ:

Тому V ⊂ Ñ є кінцевою множиною.

Кінцеве безліч V у розгорнутому вигляді записується так: V = {a, e, i, o, u} і його кардинальність дорівнює 5.

Приклад 5

Давши множини A = {2, 4, 6, 8} і B = {1, 2, 4, 7, 9}, визначте AB і BA.

A - B - це елементи A, яких немає у B:

А - В = {6, 8}

B - A - це елементи B, яких немає в A:

B - A = {1, 7, 9}

Розв’язані вправи

Вправа 1

Запишіть у символічній формі, а також розширивши безліч P натуральних чисел менше 10.

Рішення: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

Р = {2, 4, 6, 8}

Вправа 2

Припустимо, множину A, утворену натуральними числами, що є коефіцієнтами 210, і множину B, що утворюється з простих натуральних чисел менше 9. Визначте шляхом розширення обох множин і встановіть, який зв’язок існує між двома множинами.

Рішення: Щоб визначити елементи множини A, ми повинні почати з пошуку факторів натурального числа 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Тоді записується множина А:

A = {2, 3, 5, 7}

Тепер ми розглянемо множину B, що є простими числами менше 9. 1 не є простим, оскільки воно не відповідає визначенню простих: "число є простим, якщо і лише тоді, коли воно має рівно два дільники, 1 і саме число". 2 є рівним і в той же час є простим, тому що відповідає визначенню простих, інші праймери менше 9 - 3, 5 і 7. Отже, множина B дорівнює:

B = {2, 3, 5, 7}

Тому два множини рівні: A = B.

Вправа 3

Визначте множину, елементи x відрізняються від x.

Рішення: C = {x / x ≠ x}

Оскільки кожен елемент, число або об'єкт дорівнює собі, множина C не може бути іншою, ніж порожній набір:

C = Ø

Вправа 4

Нехай множина натуральних чисел N, Z - множина цілих чисел. Визначте N ⋂ Z і N ∪ Z.

Рішення:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z, тому що N ⊂ Z.

Список літератури

1. Гаро, М. (2014). Математика: квадратичні рівняння: Як розв’язати квадратичне рівняння. Марілù Гаро.
2. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Математика для менеджменту та економіки. Пірсон освіта.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Поріг.
4. Preciado, CT (2005). Курс математики 3-й. Редакція Progreso.
5. Математика 10 (2018). "Приклади кінцевих наборів". Відновлено з: matematicas10.net
6. Вікіпедія. Теорія множин. Відновлено з: es.wikipedia.com