ТЕОРЕМА ЕВКЛІДА: ДОКАЗ, ЗАСТОСУВАННЯ ТА ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

У теоремі Евкліда показує властивість трикутника до намалювати лінію , яка ділить ІТ на два нові трикутники, які схожі і, в свою чергу, схожі на оригінальний трикутник; значить, існує співвідношення пропорційності.

Евклід був одним з найбільших математиків і геометріків давньої доби, який виконав кілька доказів важливих теорем. Один з головних - той, що носить його ім'я, який мав широке застосування.

Так було, тому що завдяки цій теоремі він пояснює простим способом геометричні співвідношення, що існують у правильному трикутнику, де ноги трикутника пов'язані зі своїми проекціями на гіпотенузу.

Формули та демонстрація

Теорема Евкліда пропонує, щоб у кожному правому трикутнику, коли проведено лінію - яка представляє висоту, що відповідає вершині прямого кута відносно гіпотенузи, - два правильних трикутника утворюються з оригіналу.

Ці трикутники будуть схожі один на одного і також будуть схожі на початковий трикутник, а це означає, що їхні схожі сторони пропорційні один одному:

Кути трьох трикутників збігаються; тобто, коли вони повертаються на 180 градусів щодо своєї вершини, один кут збігається з іншим. Це означає, що всі вони будуть однаковими.

Таким чином подібність, яка існує між трьома трикутниками, може бути також перевірена рівністю їхніх кутів. З подібності трикутників Евклід встановлює пропорції цих двох теорем:

- Теорема про висоту.

- Теорема ніг.

Ця теорема має широке застосування. У стародавні часи його використовували для обчислення висот або відстаней, що представляло собою великий просування для тригонометрії.

В даний час він застосовується в різних областях, заснованих на математиці, таких як інженерія, фізика, хімія та астрономія, серед багатьох інших областей.

Теорема про висоту

У цій теоремі встановлено, що в будь-якому правильному трикутнику висота, проведена під прямим кутом відносно гіпотенузи, є середньою геометричною пропорцією (квадратом висоти) між проекціями ніжок, яку вона визначає на гіпотенузу.

Тобто квадрат висоти буде дорівнює множенню проектованих ніжок, які утворюють гіпотенузу:

h _c ² = m _* n

Демонстрація

Враховуючи трикутник ABC, який знаходиться прямо у вершині C, графік висоти генерує два подібних правих трикутника, ADC та BCD; тому їх відповідні сторони пропорційні:

Таким чином, що висота h _c, що відповідає сегменту CD, відповідає гіпотенузі AB = c, таким чином, ми маємо:

У свою чергу, це відповідає:

Розв’язуючи гіпотенузу (h _c ), щоб помножити два члени рівності, маємо:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Таким чином, значення гіпотенузи задається:

Теорема ніг

У цій теоремі встановлено, що в кожному правильному трикутнику міра кожної ноги буде середньою геометричною пропорцією (квадратом кожної ноги) між мірою гіпотенузи (повною) та проекцією кожної на неї:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Демонстрація

Даний трикутник ABC, який знаходиться прямо у вершині C, таким чином, що його гіпотенуза c, при графіку висоти (h) визначаються проекції ніжок a і b, які є відрізками m і n відповідно, а які лежать на гіпотенуза.

Таким чином, ми маємо, що висота, проведена в правому трикутнику ABC, породжує два подібних правих трикутника, ADC і BCD, так що відповідні сторони пропорційні, як це:

DB = n, що є проекцією CB ноги на гіпотенузу.

AD = m, що є проекцією AC гомілки на гіпотенузу.

Тоді гіпотенуза c визначається сумою ніжки її проекцій:

c = m + n

Через подібність трикутників ADC і BCD, ми маємо:

Вищезазначене те саме, що:

Вирішуючи для ноги "a" множення двох членів рівності, ми маємо:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Таким чином, значення ноги "а" задається:

Таким же чином, завдяки подібності трикутників ACB і ADC, ми маємо:

Вищезазначене дорівнює:

Розв’язуючи для ноги "b" множення двох членів рівності, маємо:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Таким чином, значення ноги "b" задається:

Зв'язок між теоремами Евкліда

Теореми щодо висоти та ніжок пов'язані між собою, оскільки міра обох робиться стосовно гіпотенузи правильного трикутника.

Через співвідношення теорем Евкліда також можна знайти значення висоти; це можливо шляхом вирішення значень m і n з теореми про ноги, і вони замінюються в теоремі про висоту. Таким чином виконується, що висота дорівнює множенню ніжок, поділеній на гіпотенузу:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

У теоремі про висоту замінюємо m і n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Розв’язані вправи

Приклад 1

Давши трикутник ABC, прямо в A, визначте міру AC та AD, якщо AB = 30 см і BD = 18 см

Рішення

У цьому випадку ми маємо вимірювання однієї з проектованих ніжок (BD) і однієї з ніжок вихідного трикутника (AB). Таким чином теорему про ногу можна застосувати для пошуку значення величини BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* до н

900 = 18 _* до н

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 див

Значення CD ноги можна дізнатися, знаючи, що BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 див

Тепер можна визначити значення AC ніжки, застосувавши знову теорему ноги:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 див

Для визначення значення висоти (AD) застосовується теорема висоти, оскільки відомі значення проектованих ніжок CD та BD:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 див

Приклад 2

Визначте значення висоти (h) трикутника MNL, прямо в N, знаючи заходи відрізків:

NL = 10 див

MN = 5 див

ПМ = 2 див

Рішення

Маємо міру однієї з ніг, спроектовану на гіпотенузу (ПМ), а також міри ніг вихідного трикутника. Таким чином теорему про ногу можна застосувати для пошуку значення іншої проектованої ноги (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* ЛМ

100 = 5 _* ЛМ

PL = 100 ÷ 5 = 20

Оскільки значення ніг і гіпотенузи вже відомі, за співвідношенням теорем про висоту і ніжки значення висоти можна визначити:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 див.

Список літератури

1. Браун, Е. (2011). Хаос, фрактали та дивні речі. Фонд економічної культури.
2. Кабрера, В. М. (1974). Сучасна математика, т. 3.
3. Даніель Ернандес, DP (2014). Математика 3 курсу. Каракас: Сантільяна.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (дев'ятнадцять дев'яносто п’ять). Латиноамериканська енциклопедія: Макропедія. Видавці енциклопедії «Британіка».
5. Евклід, РП (1886). Елеклідні елементи Геометрії.
6. Guardeño, AJ (2000). Спадщина математики: від Евкліда до Ньютона, генії через свої книги. Університет Севільї.