ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є: ВЛАСТИВОСТІ, ЗАСТОСУВАННЯ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА

Перетворення Фур'є є аналітичний метод , орієнтований на адекватність інтегрованих функцій , які належать до сімейства інтегральних перетворень. Він складається з перевизначення функцій f (t) з точки зору Cos (t) і Sen (t).

Тригонометричні тотожності цих функцій разом з їх виведенням та антидериваційними характеристиками служать для визначення перетворення Фур'є за допомогою наступної складної функції:

Що вірно до тих пір, поки вираз має сенс, тобто коли неправильний інтеграл конвергентний. Алгебраїчно вважається, що перетворення Фур'є є лінійним гомеоморфізмом.

Кожна функція, яка може працювати з перетворенням Фур'є, повинна мати нуль поза визначеним параметром.

Властивості

Джерело: пікселі

Перетворення Фур'є відповідає наступним властивостям:

Існування

Для перевірки існування перетворення Фур'є у функції f (t), визначеній в реалах R , необхідно виконати наступні 2 аксіоми:

f (t) є кусковим безперервним для всіх R
f (t) інтегрується в R

Лінійність трансформації Фур'є

Нехай M (t) і N (t) - будь-які дві функції з певними перетвореннями Фур'є, з будь-якими константами a і b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Що також підтримується лінійністю інтегралу однойменної назви.

Перетворення Фур'є похідної

Існує функція f, яка є безперервною та інтегрованою у всіх реалах, де:

А похідна f (f ') безперервно і кусочно визначається протягом R

Перетворення Фур'є похідної визначається інтеграцією по частинах наступним виразом:

F (z) = iz F (z)

У похідних вищого порядку вона буде застосовуватися гомологічно, де для всіх n 1 маємо:

F (z) = (iz) ⁿF (z)

Диференціація перетворення Фур'є

Існує функція f, яка є безперервною та інтегрованою у всіх реалах, де:

Перетворення Фур'є в перекладі

Для кожного θ, що належить множині S і T, що належить множині S ', маємо:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

З τ _a працює оператором перекладу на вектор a.

Переклад перетворення Фур'є

Для кожного θ, що належить множині S і T, що належить множині S ', маємо:

τ _a F = F τ _a F = F

Для всіх з яких належать R

Перетворення Фур'є масштабної групи

Для всіх θ, що належить множині S. T, що належить множині S '

λ, що належить R - {0}, маємо:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Якщо f - неперервна і чітко інтегрується функція, де a> 0. Тоді:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Щоб продемонструвати цей результат, ми можемо приступити до зміни змінної.

Коли T → +, то s = при → + ∞

Коли T → - тоді s = при → - ∞

Симетрія

Щоб вивчити симетрію перетворення Фур'є, особистість Парсевала та формули Планчереля повинна бути перевірена.

Ми маємо θ і δ, що належать S. Звідси можна зробити висновок, що:

Отримання

1 / (2π) ^d { F, F } Парсевальна ідентичність

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L²_R^d Формула Планчереля

Перетворення Фур'є виробу згортки

Дотримуючись аналогічних цілей, що й у перетворення Лапласа, згортання функцій стосується добутку між їх перетвореннями Фур'є.

Ми маємо f і g як 2 обмежені, визначені і повністю інтегровані функції:

F (f * g) = F (f). F (г)

F (f). F (g) = F (f. G)

Неперервність і падіння в нескінченність

Для чого перетворення Фур'є?

Він служить насамперед для значного спрощення рівнянь, перетворюючи при цьому похідні вирази в силові елементи, позначаючи диференційні вирази у вигляді інтегруючих многочленів.

В оптимізації, модуляції та моделюванні результатів він виступає як стандартизований вираз, будучи частим ресурсом для інженерії після кількох поколінь.

Серія Фур’є

Вони є серіями, визначеними в косинусах і синусах; Вони служать для полегшення роботи із загальними періодичними функціями. При застосуванні вони є частиною прийомів розв’язування звичайних та часткових диференціальних рівнянь.

Серії Фур'є є навіть більш загальними, ніж серії Тейлора, оскільки вони розвивають періодичні розривні функції, які не мають представлення рядів Тейлора.

Інші форми серії Фур'є

Щоб зрозуміти перетворення Фур'є аналітично, важливо переглянути інші шляхи, за якими можна знайти ряд Фур'є, поки ми не зможемо визначити ряд Фур'є у його складній позначенні.

-Фор'єр Фур'є на функції періоду 2L

Багато разів доводиться адаптувати структуру ряду Фур’є до періодичних функцій, період яких p = 2L> 0 в інтервалі.

-Fourier серії в непарних і парних функціях

Розглядається інтервал, який пропонує переваги при використанні симетричних характеристик функцій.

Якщо f парне, ряд Фур'є встановлюється як ряд косинусів.

Якщо f непарне, ряд Фур'є встановлюється як ряд синусів.

-Комплексне позначення серії Фур'є

Якщо у нас є функція f (t), яка відповідає всім вимогам щодо розробки серії Фур'є, її можна позначити в інтервалі, використовуючи її складні позначення:

Програми

Джерело: пікселі

Розрахунок фундаментального рішення

Перетворення Фур'є є потужним інструментом вивчення часткових диференціальних рівнянь лінійного типу з постійними коефіцієнтами. Вони застосовуються для функцій з необмеженими доменами однаково.

Як і перетворення Лапласа, перетворення Фур'є перетворює часткову похідну функцію в звичайне диференціальне рівняння, набагато простіше в роботі.

Завдання Коші для рівняння тепла представляє поле частого застосування перетворення Фур'є, де генерується ядро тепла або ядра Діріхле.

Щодо обчислення фундаментального рішення, подано наступні випадки, коли прийнято знаходити перетворення Фур'є:

Теорія сигналів

Загальна причина застосування перетворення Фур'є в цій гілці багато в чому пов'язана з характерним розкладанням сигналу як нескінченного суперпозиції більш легко піддаються лікуванню сигналів.

Це може бути звукова хвиля або електромагнітна хвиля, перетворення Фур'є виражає це в суперпозиції простих хвиль. Це уявлення досить часто в електротехніці.

З іншого боку, є приклади застосування перетворення Фур'є в галузі теорії сигналів:

Приклади

Приклад 1

Визначте перетворення Фур'є для наступного виразу:

Ми також можемо представити його наступним чином:

F (t) = Sen (t)

Визначається прямокутний імпульс:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Перетворення Фур'є застосовується до наступного виразу, що нагадує теорему модуляції.

f (t) = p (t) Sen (t)

Де: F = (1/2) i

А перетворення Фур'є визначається:

F = (1/2) i

Приклад 2

Визначте перетворення Фур'є для виразу:

Оскільки f (h) є рівномірною функцією, можна констатувати це

Інтеграція за частинами застосовується шляхом вибору змінних та їх диференціалів наступним чином

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

DV = ч (е ^-h ) ² v = (е ^-h ) ² /2

Заміщення у вас є

Після оцінювання за фундаментальною теоремою обчислення

Застосовуючи попередні знання щодо диференціальних рівнянь першого порядку, вираз позначається як

Для отримання К оцінюємо

Нарешті, перетворення Фур'є виразу визначається як

Запропоновані вправи

Отримаємо перетворення виразу W / (1 + w ² )

Список літератури

Duoandikoetxea Zuazo, J., Фур'є-аналіз. Аддісон - Веслі Ібероамерикана, Мадридський автономний університет, 1995 р.
Леви, Дж. Л., Математичний аналіз та числові методи науки та техніки. Спрингер - Верлаг, 1990.
Ядра Lieb, EH, Gaussian мають лише гауссові максималізатори. Винаходити Математика. 102 , 179-208, 1990.
Dym, H., McKean, HP, Fourier Series та Integrals. Академічна преса, Нью-Йорк, 1972.
Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ред. Герман, Париж, 1966.

ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є: ВЛАСТИВОСТІ, ЗАСТОСУВАННЯ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024