ГОСТРИЙ ТРИКУТНИК: ХАРАКТЕРИСТИКИ ТА ВИДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Ці гострі трикутники є ті , чиї три внутрішні кути гострі кути; тобто міра кожного з цих кутів становить менше 90 ° градусів. Не маючи жодного прямого кута, ми маємо, що теорема Піфагора не відповідає цій геометричній фігурі.

Тому, якщо ми хочемо мати певний тип інформації про будь-яку з його сторін або кутів, необхідно використовувати інші теореми, які дозволяють нам мати доступ до цих даних. Ми можемо використати теорему про синус і косинус.

характеристики

Серед характеристик, які має ця геометрична фігура, ми можемо виділити ті, які задаються простим фактом буття трикутника. Серед них:

- Трикутник - це багатокутник, який має три сторони і три кути.

- Сума його трьох внутрішніх кутів дорівнює 180 °.

- Сума двох його сторін завжди більша за третю.

Як приклад розглянемо наступний трикутник ABC. Загалом ми ототожнюємо його сторони з малої літери, а її кути - з великої літери, так що одна сторона та її протилежний кут мають однакову літеру.

З уже наведених характеристик ми знаємо, що:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b і b + c> a

Основна особливість, яка відрізняє цей тип трикутника від решти, полягає в тому, що, як ми вже згадували, його внутрішні кути гострі; тобто міра кожного його кута менше 90 °.

Гострі трикутники разом з тупими трикутниками (ті, у яких один з їхніх кутів має міру більше 90 °) є частиною безлічі косих трикутників. Цей набір складається з трикутників, які не мають прямого кута.

Оскільки косі трикутники є частиною, ми повинні вміти вирішувати задачі, пов’язані з гострими трикутниками, ми повинні використовувати теорему про синус і косинусу.

Теорема про синус

Теорема про синус говорить нам, що відношення однієї сторони до синуса її протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу кола, утвореному трьома вершинами згаданого трикутника. Тобто:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Теорема про косинус

З іншого боку, теорема косинусів дає нам ці три рівності для будь-якого трикутника ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Ці теореми відомі також як закон синуса і закон косинуса відповідно.

Ще однією характеристикою, яку ми можемо дати для гострих трикутників, є те, що два з них рівні, якщо вони відповідають одному з наступних критеріїв:

- Якщо вони мають однакові три сторони.

- Якщо вони мають одну сторону і два рівні кути один до одного.

- Якщо вони мають дві рівні сторони і кут.

Типи

Гострі трикутники можна класифікувати за їх сторонами. Це можуть бути:

Рівносторонні гострі трикутники

Вони є гострими трикутниками, у яких всі сторони рівні, і, отже, всі їх внутрішні кути мають однакове значення, яке A = B = C = 60 ° градусів.

Як приклад візьмемо наступний трикутник, сторони якого a, b і c мають значення 4.

Ізоскелети гострі трикутники

Ці трикутники, крім того, що мають гострі внутрішні кути, мають властивість мати дві їхні рівні сторони, а третю, яку взагалі приймають за основу, різні.

Прикладом цього типу трикутників може бути той, у якого основа дорівнює 3, а інші дві його сторони мають значення 5. При цих вимірах він би мав протилежні кути до рівних сторін зі значенням 72,55 ° і протилежним кутом основа була б 34,9 °.

Скелен гострі трикутники

Це трикутники, які мають різні сторони два на два. Тому всі його кути, крім того, що менше 90 °, відрізняються від двох до двох.

Трикутник DEF (міри якого d = 4, e = 5 і f = 6, а його кути D = 41,41 °, E = 55,79 ° і F = 82,8 °) - хороший приклад гострого трикутника шкала.

Роздільна здатність гострих трикутників

Як ми говорили раніше, для вирішення задач, що стосуються гострих трикутників, необхідно використовувати теореми про синус і косинуси.

Приклад 1

Давши трикутник ABC з кутами A = 30 °, B = 70 ° і стороною a = 5 см, ми хочемо знати значення кута C і сторін b і c.

Перше, що ми робимо, - це використовувати той факт, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 °, щоб отримати значення кута С.

180 ° = А + В + С = 30 ° + 70 ° + С = 100 ° + С

Ми очищаємо C і маємо:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Оскільки нам уже відомі три кути і одна сторона, ми можемо використовувати теорему синуса для визначення значення решти сторін. За теоремою маємо:

a / sin (A) = b / sin (B) і a / sin (A) = c / (sin (C)

Виділяємо b з рівняння і нам залишається:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0.940) / (0.5) ≈ 9.4

Тепер нам потрібно лише обчислити значення c. Ми поступаємо так само, як і в попередньому випадку:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0.984) / (0.5) ≈ 9.84

Таким чином отримуємо всі дані трикутника. Як ми бачимо, цей трикутник належить до категорії масштабного гострого трикутника.

Приклад 2

Давши трикутник DEF зі сторонами d = 4см, e = 5см і f = 6см, ми хочемо знати значення кутів зазначеного трикутника.

У цьому випадку ми будемо використовувати закон косинусів, який говорить нам, що:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

З цього рівняння можна вирішити для cos (D), що дає нам результат:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ² ) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Отже, у нас D≈ 41,41 °

Використовуючи тепер теорему сеному, ми маємо таке рівняння:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Розв’язуючи гріх (Е), ми маємо:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0.66) / 4 ≈ 0.827

Отже, у нас E≈55,79 °

Нарешті, використовуючи, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 °, маємо F≈82,8 °.

1. Ландаверде, Ф. д. (1997). Геометрія (перевидання ред.). Прогрес.
2. Лік, Д. (2006). Трикутники (ілюстрована ред.). Хайеман-Рейнтрі.
3. Ліал Г. Хуан Мануель (2003). Плоска метрична геометрія
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Геометрії. CR технологія.
5. Салліван, М. (1997). Тригонометрія та аналітична геометрія. Пірсон освіта.