4 ВПРАВИ НА ФАКТОРИНГ З РОЗЧИНАМИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Вправи факторизация допомагає зрозуміти цю техніку, часто використовуються в математиці і знаходиться в процесі написання суми у вигляді твору деяких термінів.

Слово факторизація стосується факторів, які є термінами, що множать інші терміни. Наприклад, у простій факторизації натурального числа прості числа, що беруть участь, називаються коефіцієнтами.

Тобто 14 можна записати як 2 * 7. У цьому випадку прості коефіцієнти 14 дорівнюють 2 і 7. Те саме стосується поліномів реальних змінних.

Тобто, якщо у вас є многочлен P (x), то факторинг многочлена складається з написання P (x) як добутку інших многочленів ступеня менше, ніж ступінь P (x).

Факторинг

Для розподілу многочлена застосовуються різні методи, включаючи помітні продукти та обчислення коренів многочлена.

Якщо у нас є многочлен P (x) другого ступеня, а x1 і x2 - це справжні корені P (x), то P (x) можна розглядати як "a (x-x1) (x-x2)", де "a" - коефіцієнт, що супроводжує квадратичну потужність.

Як обчислюються корені?

Якщо многочлен ступеня 2, то коріння можна обчислити за формулою, що називається "роздільна здатність".

Якщо многочлен ступеня 3 і більше, для обчислення коренів зазвичай використовується метод Руффіні.

4 факторингові вправи

Перша вправа

Складіть фактор наступного многочлена: P (x) = x²-1.

Рішення

Використовувати роздільну здатність не завжди потрібно. У цьому прикладі ви можете використовувати чудовий продукт.

Переписуючи поліном наступним чином, ми бачимо, який помітний продукт використовувати: P (x) = x² - 1².

Використовуючи чудовий добуток 1, різницю квадратів, ми маємо, що поліном P (x) можна визначити так: P (x) = (x + 1) (x-1).

Це ще більше вказує на те, що корені P (x) дорівнюють x1 = -1 і x2 = 1.

Друга вправа

Складіть фактор наступного многочлена: Q (x) = x³ - 8.

Рішення

Є чудовий продукт, який говорить наступне: a³-b³ = (ab) (a² + ab + b²).

Знаючи це, поліном Q (x) можна переписати так: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Тепер, використовуючи описаний чудовий добуток, маємо, що факторизація полінома Q (x) дорівнює Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2х + 4).

Квадратичний многочлен, що виник на попередньому етапі, залишається враховувати. Але якщо поглянути на це, чудовий продукт №2 може допомогти; тому кінцева факторизація Q (x) задається Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Це говорить про те, що один корінь Q (x) дорівнює x1 = 2, а x2 = x3 = 2 - інший корінь Q (x), який повторюється.

Третя вправа

Фактор R (x) = x² - x - 6.

Рішення

Якщо чудовий продукт не вдається виявити, або необхідний досвід маніпулювання виразом недоступний, ми переходимо до використання резолюції. Значення такі a = 1, b = -1 і c = -6.

Замінивши їх у формулу, виходить x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5 ) / два.

Звідси випливають два рішення:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Тому поліном R (x) можна розглядати як R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

Четверта вправа

Коефіцієнт H (x) = x³ - x² - 2x.

Рішення

У цій вправі ми можемо почати, взявши загальний фактор x, і отримаємо, що H (x) = x (x²-x-2).

Тому залишається лише розподілити квадратичний многочлен. Використовуючи роздільну здатність знову, ми маємо, що корені:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Тому корені квадратичного многочлена x1 = 1 і x2 = -2.

На закінчення факторизованість многочлена H (x) задається Н (x) = x (x-1) (x + 2).

Список літератури

1. 1. Фуентес, А. (2016). ОСНОВНА МАТ. Вступ до обчислення. Lulu.com.
   2. Гаро, М. (2014). Математика: квадратичні рівняння: Як розв’язати квадратичне рівняння. Марілù Гаро.
   3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Математика для менеджменту та економіки. Пірсон освіта.
   4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Поріг.
   5. Preciado, CT (2005). Курс математики 3-й. Редакція Progreso.
   6. Рок, НМ (2006). Алгебра я проста! Так легко. Team Rock Press.
   7. Салліван, Дж. (2006). Алгебра та тригонометрія. Пірсон освіта.