ЩО ТАКЕ ОДНОЧАСНІ РІВНЯННЯ? (ВПРАВИ ВИРІШЕНІ) - МАТЕМАТИКА - 2025

У одночасних рівняннях є тими рівняннями , які повинні бути виконані одночасно. Тому, щоб мати одночасні рівняння, у вас повинно бути більше одного рівняння.

Коли у вас є два або більше різних рівнянь, які повинні мати одне і те ж рішення (або однакові рішення), кажуть, що у вас є система рівнянь або також сказано, що у вас є одночасні рівняння.

Коли ми маємо одночасні рівняння, може статися, що вони не мають спільних розв’язків, або мають кінцеву кількість, або мають нескінченну величину.

Одночасні рівняння

З урахуванням двох різних рівнянь Eq1 та Eq2 випливає, що система цих двох рівнянь називається одночасними рівняннями.

Одночасні рівняння задовольняють, що якщо S є рішенням Eq1, то S також є рішенням Eq2, і навпаки

характеристики

Якщо мова йде про систему одночасних рівнянь, ви можете мати 2 рівняння, 3 рівняння або N рівнянь.

Найпоширенішими методами, що застосовуються для розв’язання одночасних рівнянь, є: підміна, вирівнювання та скорочення. Існує також інший метод, який називається правилом Крамера, який дуже корисний для систем з більш ніж двох одночасних рівнянь.

Прикладом одночасних рівнянь є система

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Видно, що x = 0, y = 2 - це рішення Eq1, але це не рішення Eq2.

Єдине загальне рішення, яке мають обидва рівняння, це x = 1, y = 1. Тобто x = 1, y = 1 - це рішення системи одночасних рівнянь.

Розв’язані вправи

Далі ми переходимо до розв'язання системи одночасних рівнянь, показаних вище, за допомогою 3 згаданих методів.

Перша вправа

Розв’яжіть систему рівнянь Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1, використовуючи метод підстановки.

Рішення

Метод заміщення складається з розв’язання одного з невідомих в одному з рівнянь, а потім заміщення його в іншому рівнянні. У цьому конкретному випадку ми можемо вирішити для "y" з рівняння 1 і отримаємо, що y = 2-x.

Підставляючи це значення «y» в Eq2, отримуємо, що 2x- (2-x) = 1. Тому отримуємо, що 3x-2 = 1, тобто x = 1.

Тоді, оскільки значення x відоме, воно замінюється на "y" і отримуємо, що y = 2-1 = 1.

Тому єдиним рішенням системи одночасних рівнянь Eq1 і Eq2 є x = 1, y = 1.

Друга вправа

Розв’яжіть систему рівнянь Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1, використовуючи метод відповідності.

Рішення

Метод узгодження складається з розв’язування однакових невідомих в обох рівняннях, а потім узгодження отриманих рівнянь.

Розв'язуючи "x" з обох рівнянь, отримуємо, що x = 2-y, і що x = (1 + y) / 2. Тепер ці два рівняння рівняємо і отримуємо те, що 2-y = (1 + y) / 2, з якого випливає, що 4-2y = 1 + y.

Групування невідомого "y" на одній стороні призводить до y = 1. Тепер, коли "y" відомо, переходимо до знаходження значення "x". Підставляючи y = 1, отримуємо, що x = 2-1 = 1.

Тому спільним рішенням між рівняннями Eq1 та Eq2 є x = 1, y = 1.

Третя вправа

Розв’яжіть систему рівнянь Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 за допомогою методу відновлення.

Рішення

Метод скорочення складається з множення рівнянь, заданих на відповідні коефіцієнти, так що при додаванні цих рівнянь одна з змінних скасовується.

У цьому конкретному прикладі не потрібно помножувати жодне рівняння на будь-який коефіцієнт, просто додайте їх. Додавши Eq1 плюс Eq2, отримуємо той 3x = 3, з якого отримуємо, що x = 1.

Оцінюючи x = 1 в Eq1, отримуємо, що 1 + y = 2, з чого випливає, що y = 1.

Тому x = 1, y = 1 є єдиним рішенням одночасних рівнянь Eq1 і Eq2.

Четверта вправа

Розв’яжіть систему одночасних рівнянь Eq1: 2x-3y = 8 і Eq2: 4x-3y = 12.

Рішення

У цій вправі ніякого конкретного методу не потрібно, тому може бути застосований найзручніший для кожного читача метод.

У цьому випадку буде застосовано метод зменшення. Помноживши Eq1 на -2, виходить рівняння Eq3: -4x + 6y = -16. Тепер, додаючи Eq3 і Eq2, отримуємо, що 3y = -4, тому y = -4 / 3.

Тепер, оцінюючи y = -4 / 3 в Eq1, отримуємо, що 2x-3 (-4/3) = 8, звідки 2x + 4 = 8, тому x = 2.

На закінчення єдиним рішенням системи одночасних рівнянь Eq1 і Eq2 є x = 2, y = -4 / 3.

Спостереження

Методи, описані в цій статті, можуть бути застосовані до систем з більш ніж двома одночасними рівняннями.

Чим більше рівнянь і чим більше невідомих, тим складніша процедура розв’язання системи.

Будь-який метод рішення систем рівнянь дасть однакові рішення, тобто рішення не залежать від застосованого методу.

Список літератури

1. Фуентес, А. (2016). ОСНОВНА МАТ. Вступ до обчислення. Lulu.com.
2. Гаро, М. (2014). Математика: квадратичні рівняння.: Як розв’язати квадратичне рівняння. Марілù Гаро.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Математика для менеджменту та економіки. Пірсон освіта.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Поріг.
5. Preciado, CT (2005). Курс математики 3-й. Редакція Progreso.
6. Рок, НМ (2006). Алгебра я проста! Так легко. Team Rock Press.
7. Салліван, Дж. (2006). Алгебра та тригонометрія. Пірсон освіта.