СКІЛЬКИ РОЗВ’ЯЗКІВ МАЄ КВАДРАТИЧНЕ РІВНЯННЯ? - МАТЕМАТИКА - 2025

Квадратне рівняння або квадратичне рівняння може мати нуль, один або два реальних рішення, залежно від коефіцієнтів, що з'являються у згаданому рівнянні.

Якщо ви працюєте над складними числами, то можна сказати, що кожне квадратичне рівняння має два рішення.

Для початку квадратичне рівняння - це рівняння виду ax² + bx + c = 0, де a, b і c - дійсні числа, а x - змінна.

Кажуть, що x1 - це рішення попереднього квадратичного рівняння, якщо заміна x на x1 задовольняє рівняння, тобто якщо a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Якщо, наприклад, маємо рівняння x²-4x + 4 = 0, то x1 = 2 є рішенням, оскільки (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Навпаки, якщо підставити x2 = 0, отримаємо (0) ²-4 (0) + 4 = 4, а оскільки 4 ≠ 0, то x2 = 0 не є рішенням квадратичного рівняння.

Розв’язки квадратичного рівняння

Кількість розв’язків квадратичного рівняння можна розділити на два випадки, які є:

один.-

При роботі з реальними числами квадратичні рівняння можуть мати:

-Зеро рішення: тобто немає реального числа, яке б задовольняло квадратичне рівняння. Наприклад, рівняння, задане рівнянням x² + 1 = 0, не існує такого дійсного числа, яке задовольняє вказаному рівнянню, оскільки обидва х² більше або дорівнюють нулю, а 1 суворо більше нуля, тому їх сума буде більшою суворіший за нуль.

-Повторне рішення: існує єдине дійсне значення, яке задовольняє квадратичне рівняння. Наприклад, єдиним рішенням рівняння x²-4x + 4 = 0 є x1 = 2.

-Дві різні рішення: є два значення, які задовольняють квадратичне рівняння. Наприклад, x² + x-2 = 0 має два різні рішення, які x1 = 1 і x2 = -2.

2.- У складних числах

Працюючи зі складними числами, квадратичні рівняння завжди мають два розв’язки, які є z1 і z2, де z2 - кон'югат z1. Їх також можна класифікувати на:

-Комплекси: розв’язки мають вигляд z = p ± qi, де p і q - дійсні числа. Цей випадок відповідає першому випадку в попередньому списку.

Чисті комплекси: це коли реальна частина рішення дорівнює нулю, тобто, що рішення має вигляд z = ± qi, де q - дійсне число. Цей випадок відповідає першому випадку в попередньому списку.

-Комплекси з уявною частиною, що дорівнює нулю: це коли складна частина розчину дорівнює нулю, тобто рішення - це дійсне число. Цей випадок відповідає двом останнім випадкам у попередньому списку.

Як знаходять розв’язки квадратичного рівняння?

Для обчислення розв’язків квадратичного рівняння використовується формула, відома як "роздільна здатність", яка говорить, що розв'язки рівняння ax² + bx + c = 0 задаються виразом на наступному зображенні:

Величина, яка з'являється у квадратному корені, називається дискримінантним квадратичним рівнянням і позначається буквою "d".

Квадратичне рівняння матиме:

-Дві реальні рішення, якщо і тільки тоді, d> 0.

-Реальне рішення повторюється, якщо і тільки тоді, d = 0.

-Зеро реальні рішення (або два складних рішення), якщо і тільки тоді, d <0.

Приклади:

-Рішення рівняння x² + x-2 = 0 задаються:

-Рівняння x²-4x + 4 = 0 має повторне рішення, яке задається:

-Рішення рівняння x² + 1 = 0 задаються:

Як видно з цього останнього прикладу, x2 є кон'югатом x1.

Список літератури

1. Фуентес, А. (2016). ОСНОВНА МАТ. Вступ до обчислення. Lulu.com.
2. Гаро, М. (2014). Математика: квадратичні рівняння.: Як розв’язати квадратичне рівняння. Марілù Гаро.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Математика для менеджменту та економіки. Пірсон освіта.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Поріг.
5. Preciado, CT (2005). Курс математики 3-й. Редакція Progreso.
6. Рок, НМ (2006). Алгебра я проста! Так легко. Team Rock Press.
7. Салліван, Дж. (2006). Алгебра та тригонометрія. Пірсон освіта.