ДІАМЕТР: СИМВОЛИ ТА ФОРМУЛИ, ЯК ЙОГО ОТРИМАТИ, ОКРУЖНІСТЬ - МАТЕМАТИКА - 2025

Діаметр являє собою пряму лінію , яка проходить через центр плоскої замкнутої кривої або фігури в двох або трьох вимірах , і що також приєднується до його протилежних точок. Зазвичай це коло (плоска крива), коло (плоска фігура), сфера або правий круговий циліндр (тривимірні об’єкти).

Хоча окружність і коло зазвичай приймаються як синоніми, між двома термінами існує різниця. Окружність - це замкнена крива, яка охоплює коло, яка відповідає умові, що відстань між будь-якою її точкою та центром однакова. Ця відстань не що інше, як радіус окружності. Натомість коло - це плоска фігура, обмежена окружністю.

Малюнок 1. Діаметр велосипедних коліс є важливою особливістю їх конструкції. Джерело: Pixabay.

У випадку окружності, кола та сфери діаметр - це прямий відрізок, який містить щонайменше три точки: центр плюс дві точки краю окружності чи кола, або поверхня сфери.

А що стосується правильного кругового циліндра, то діаметр відноситься до перерізу, який разом з висотою є його двома характерними параметрами.

Діаметр окружності та кола, що символізується ø або просто літерою "D" або "d", пов'язаний з його периметром, контуром або довжиною, що позначається буквою L:

L = π.D = π. або

Щоразу, коли існує окружність, коефіцієнт між його довжиною та діаметром є ірраціональним числом π = 3,14159… таким чином:

π = L / D

Як отримати діаметр?

Коли у вас є креслення окружності або кола, або безпосередньо круглого предмета, наприклад, монети або кільця, наприклад, дуже легко знайти діаметр за допомогою лінійки. Потрібно просто переконатися, що край лінійки торкається одночасно двох точок по окружності та до центру його.

Штангенциркуль, шпон або штангенциркуль дуже підходить для вимірювання зовнішнього та внутрішнього діаметрів на монетах, обручах, кільцях, гайках, трубах тощо.

Малюнок 2. Цифровий вернер, що вимірює діаметр монети. Джерело: Pixabay.

Якщо замість об'єкта або його малюнка ми маємо такі дані, як радіус R, то, помноживши на 2, маємо діаметр. І якщо довжина або периметр окружності відомі, діаметр також можна знати, очистивши:

Інший спосіб знайти діаметр - це пізнання площі кола, сферичної поверхні, перерізу циліндра, вигнутої площі циліндра або об’ємів сфери чи циліндра. Все залежить від того, яка це геометрична фігура. Наприклад, діаметр бере участь у наступних областях та обсягах:

-Область кола : π. (D / 2) ²
-область сферичної поверхні : 4π. (D / 2) ²
-обсяг сфери : (4/3) π. (D / 2) ³
-об'єм правий круговий циліндр : π. (D / 2) ² .H (H - висота циліндра)

Цифри постійної ширини

Коло - це плоска фігура постійної ширини, оскільки де б ви не дивилися на неї, ширина - діаметр D. Однак є й інші, мабуть, менш відомі фігури, ширина яких також є постійною.

Спочатку давайте подивимось, що розуміється під шириною фігури: це відстань між двома паралельними прямими - опорними лініями -, які, у свою чергу, перпендикулярні заданому напрямку та ув'язують фігуру, як показано на лівому зображенні:

Малюнок 3. Ширина будь-якої плоскої фігури (ліворуч) і трикутника Реле, фігури постійної ширини (праворуч). Джерело: Ф. Сапата.

Поруч праворуч розташований трикутник Реле, який є фігурою постійної ширини і відповідає умові, вказаній на лівій фігурі. Якщо ширина фігури дорівнює D, її периметр задається теоремою Барб'є:

L = π.D

Каналізація міста Сан-Франциско в Каліфорнії має форму трикутника Релі, названого німецьким інженером Францом Реле (1829 - 1905). Таким чином кришки не можуть потрапити через отвір, і для їх виготовлення використовується менше матеріалу, оскільки площа їх менша, ніж у кола:

A = (1- √3) .πD ² = 0.705.D ²

Хоча для кола:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0,785. D ²

Але цей трикутник - не єдина фігура постійної ширини. Можна побудувати так звані полігони Реле з іншими багатокутниками, які мають непарну кількість сторін.

Діаметр окружності

На наступному малюнку наведені елементи кола, визначені так:

Акорд : відрізок лінії, що з'єднує дві точки по колу. На рисунку є хорда, що з'єднує точки C і D, але можна намалювати нескінченні акорди, які з'єднують будь-яку пару точок по окружності.

Діаметр : це хорда, яка проходить через центр, з'єднуючи дві точки окружності з центром O. Це найдовший акорд окружності, тому його називають "основним акордом".

Радіус : відрізок лінії, що з'єднує центр з будь-якою точкою по колу. Його значення, як і діаметр, є постійним.

Окружність : це множина всіх точок, рівновіддалених від O.

Дуга : вона визначається як відрізок окружності, розділений двома радіусами (не намальований на малюнку).

Малюнок 4. Частини окружності, включаючи діаметр, що проходить через центр. Джерело: Wikimedia Commons.

- Приклад 1

Виявлений прямокутник висотою 10 дюймів, який при накаті утворює правильний круговий циліндр, діаметр якого становить 5 дюймів. Дай відповідь на наступні запитання:

Малюнок 5. Згорнутий прямокутник стає правим круглим циліндром. Джерело: Хіменес, Р. Математика II. Геометрія та тригонометрія. 2-й. Видання. Пірсон.

а) Що таке контур трубки?
б) Знайдіть площу прямокутника.
c) Знайдіть площу поперечного перерізу циліндра.

Рішення для

Контур трубки дорівнює L = π.D = 5π в = 15,71 дюйма.

Рішення b

Площа прямокутника є базовою х висотою, при цьому база L вже розрахована, а висота відповідно до твердження: 10 дюймів.

А = 15,71 в х 10 в = 157,1 в ² .

Розв’язання c

Нарешті, запитувана площа обчислюється так:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 дюймів ) ² = 19,63 дюйма ² .

- Приклад 2

Обчисліть затінену площу на рисунку 5а. Квадрат має сторону L.

Малюнок 6. Знайдіть затінену область на лівій фігурі. Хіменес, Р. Математика II. Геометрія та тригонометрія. 2-й. Видання. Пірсон.

Рішення

На малюнку 5b двома півколами однакового розміру були намальовані рожевим та синім кольорами, накладеними на початкову фігуру. Між ними роблять повне коло. Якщо ви знайдете площу квадрата і віднімаєте площу кола, ви робите затінену площу на рисунку 5b. І придивившись уважно, виявляється, що це половина затіненої ділянки в 5а.

-Площа квадрату: L ^2-
діаметр півкола: L
-область кола: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ²
-різниця площ = половина затіненої площі =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Затінена площа = 2 x 0,2146 L ² = 0,4292L2

Скільки діаметрів має окружність?

Ви можете намалювати нескінченні діаметри на колі, і будь-який з них вимірює те саме.

Список літератури

1. Антоніо. Трикутники Реле та інші криві постійної ширини. Відновлено з: divulgators.com.
2. Бальдор, А. 2002. Геометрія площини та простору та тригонометрія. Культурна група Патрія.
3. Хіменес, Р. Математика II. Геометрія та тригонометрія. 2-й. Видання. Пірсон.
4. Вікіпедія. Трикутник Реле. Відновлено з: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Діаметр. Відновлено з: mathworld.wolfram.com.