- Приклади ступеня многочлена
- Таблиця 1. Приклади многочленів та їх ступенів
- Порядок роботи з многочленами
- Порядок, скорочення та заповнення многочлена
- Важливість ступеня многочлена при складанні та відніманні
- Розв’язані вправи
- - Вправа розв’язана 1
- Рішення
- - Вправа розв’язана 2
- Рішення
- Список літератури
Ступінь многочлена в змінної задається терміном , який має найбільший показник, і якщо поліном має два або більше змінних, то ступінь визначається сумою показників кожного терміна, тим більша сума є ступінь многочлена.
Подивимось, як визначити ступінь многочлена практичним способом.
Рисунок 1. Відоме рівняння Ейнштейна для енергії Е - мононім абсолютного ступеня 1 для змінної маси, позначений m, оскільки швидкість світла c вважається постійною. Джерело: Piqsels.
Припустимо, поліном P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 . Цей многочлен - одна змінна, в даному випадку це змінна x. Цей многочлен складається з декількох термінів, які є наступними:
А тепер який показник? Відповідь 3. Тому P (x) - поліном ступеня 3.
Якщо поліном, про який йде мова, має більше однієї змінної, то ступінь може бути:
-Абсолютний
-У відношенні змінної
Абсолютний ступінь знаходимо, як пояснено на початку: додавання показників кожного доданка та вибір найбільшого.
Натомість ступінь многочлена щодо однієї зі змінних чи літер є найбільшим значенням показника, який має зазначена літера. Справа стане зрозумілішою з прикладами та розв’язаними вправами у наступних розділах.
Приклади ступеня многочлена
Поліноми можна класифікувати за ступенем, і можуть бути першого ступеня, другого ступеня, третього ступеня тощо. Для прикладу на малюнку 1 енергія є одночленним мономером першого ступеня.
Важливо також зазначити, що кількість доданків, які має многочлен, дорівнює ступеня плюс 1. Таким чином:
-Поліноми першого ступеня мають 2 доданки: a 1 x + a o
-Поліном другого ступеня має 3 члени: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Причлен третього ступеня має 4 члени: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a або
І так далі. Уважний читач зауважив, що поліноми у попередніх прикладах записуються у зменшенній формі, тобто ставлять термін з найбільшою мірою.
У наступній таблиці показані різні многочлени, як однієї, так і декількох змінних та їх відповідних абсолютних ступенів:
Таблиця 1. Приклади многочленів та їх ступенів
| Поліном | Ступінь |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| х-1 | один |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 і 5 + 5x 2 і 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Останні два многочлени мають більше однієї змінної. З них термін з найвищим абсолютним ступенем виділено жирним шрифтом, щоб читач міг швидко перевірити ступінь. Важливо пам’ятати, що коли змінна не має записаного показника, розуміється, що зазначений показник дорівнює 1.
Наприклад, у виділеному терміні ab 3 x 2 є три змінні, а саме: a, b і x. У цьому терміні a збільшується до 1, тобто:
a = a 1
Тому ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Оскільки показник b є 3, а x - 2, то відразу випливає, що ступінь цього терміна дорівнює:
1 + 3 + 2 = 6
Y - абсолютний ступінь многочлена, оскільки жоден інший термін не має вищого ступеня.
Порядок роботи з многочленами
Працюючи з поліномами, важливо звернути увагу на його ступінь, оскільки спочатку і перед виконанням будь-якої операції зручно виконувати ці кроки, в яких ступінь містить дуже важливу інформацію:
-Порядкуйте поліном переваги у зменшуваному напрямку. Таким чином, термін з найвищим ступенем знаходиться зліва, а термін з найнижчим ступенем - справа.
- Зменшіть подібні терміни, процедура, яка полягає в додаванні алгебраїчно всіх доданків тієї ж змінної та ступеня, що знаходяться в виразі.
-Якщо необхідно, поліноми заповнюються, вставляючи терміни, коефіцієнт яких дорівнює 0, у випадку, якщо є відсутні умови з показником.
Порядок, скорочення та заповнення многочлена
З огляду на многочлен P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, його пропонують впорядкувати в порядку зменшення, зменшити подібні терміни, якщо такі є, і заповнити пропущені терміни якщо точні.
Перше, на що слід звернути увагу, - це термін із найбільшим показником, який є ступенем многочлена, який виявляється таким:
х 7
Тому P (x) є ступенем 7. Тоді впорядковується многочлен, починаючи з цього терміна зліва:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Тепер скорочуються подібні терміни, які такі: - 2х і 3х з одного боку. І 7, і -12 з іншого. Для їх зменшення коефіцієнти додаються алгебраїчно, а змінна залишається незмінною (якщо змінна не відображається поруч із коефіцієнтом, пам’ятайте, що x 0 = 1):
-2х + 3х = х
7 -12 = -5
Замініть ці результати на P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
І, нарешті, поліном вивчається, чи немає якогось показника, і дійсно, термін, показник якого 6, відсутній, тому він завершений нулями, як це:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Тепер спостерігається, що поліному залишилося 8 доданків, оскільки, як було сказано раніше, кількість доданків дорівнює ступеню + 1.
Важливість ступеня многочлена при складанні та відніманні
За допомогою многочленів ви можете виконувати операції додавання і віднімання, в яких додаються або віднімаються лише подібні доданки, це ті, що мають однакову змінну і однаковий ступінь. Якщо подібних термінів немає, додавання або віднімання просто вказується.
Після того, як додавання чи віднімання здійснено, останнє - сума протилежного, ступінь отриманого многочлена завжди дорівнює або менший, ніж ступінь многочлена, що додає найвищий ступінь.
Розв’язані вправи
- Вправа розв’язана 1
Знайдіть таку суму і визначте її абсолютний ступінь:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Рішення
Це многочлен з двома змінними, тому зручно скорочувати подібні доданки:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5а 3 - 2х 3
Обидва терміни мають ступінь 3 в кожній змінній. Тому абсолютна ступінь многочлена дорівнює 3.
- Вправа розв’язана 2
Виразіть площу геометричної фігури наступної площини у вигляді многочлена (рисунок 2 зліва). Яка ступінь отриманого многочлена?
Малюнок 2. Ліворуч цифра для розв’язаної вправи 2, а праворуч - та сама фігура, розкладена на три області, вираз яких відомий. Джерело: Ф. Сапата.
Рішення
Оскільки це область, то отриманий многочлен повинен бути ступеня 2 у змінній x. Щоб визначити відповідний вираз для області, фігуру розкладають на відомі області:
Площа прямокутника та трикутника відповідно: основа х висота та основа х висота / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2 ; А 2 = 5. х = 5х; А 3 = 5. (2х / 2) = 5х
Примітка : основа трикутника дорівнює 3x - x = 2x та його висота 5.
Тепер додаються три отримані вирази, при цьому ми маємо область фігури як функцію x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Список літератури
- Бальдор, А. 1974. Елементарна алгебра. Культурна Венезолана С.А.
- Хіменес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
- Вікікниги. Поліноми. Відновлено: es. wikibooks.org.
- Вікіпедія. Ступінь (многочлен). Відновлено з: es.wikipedia.org.
- Зілл, Д. 1984. Алгебра та тригонометрія. Mac Graw Hill.