СКЛАДНІ ЧИСЛА: ВЛАСТИВОСТІ, ПРИКЛАДИ, ОПЕРАЦІЇ - МАТЕМАТИКА - 2024

У комплексних числах є чисельною безліччю охоплює дійсних чисел , і всіх корінь багаточленів , включаючи пари коренів негативних чисел. Ці корені не існують у множині реальних чисел, але у складних числах є рішення.

Складне число складається з реальної частини та частини, яка називається «уявна». Справжньою частиною називається, наприклад, а уявна частина ib, з дійсними числами a і b і "i" як уявна одиниця. Таким чином комплексне число набуває вигляду:

Малюнок 1. - Біноміальне подання складного числа з точки зору реальної частини та уявної частини. Джерело: Pixabay.

Прикладами складних чисел є 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Але перед тим, як оперувати ними, давайте подивимось, звідки походить уявна одиниця i, розглядаючи це квадратичне рівняння:

x ² - 10x + 34 = 0

У якому a = 1, b = -10 і c = 34.

Застосовуючи роздільну формулу для визначення рішення, ми знаходимо наступне:

Як визначити значення √-36? Немає реального числа, яке в квадраті створює негативну величину. Тоді робиться висновок, що це рівняння не має реальних рішень.

Однак ми можемо написати це:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Якщо ми визначимо певне значення x таке, що:

х ² = -1

Так:

x = ± √-1

І вищенаведене рівняння мало б рішення. Тому уявну одиницю визначали як:

i = √-1

І так:

√-36 = 6i

Багато математиків античності працювали над вирішенням подібних завдань, зокрема ренесанс Жироламо Кардано (1501-1576), Ніколо Фонтана (1501-1557) та Раффаеле Бомбеллі (1526-1572).

Через роки Рене Декарт (1596-1650) назвав у прикладі величини "уявними", як √-36. З цієї причини √-1 відомий як уявна одиниця.

Властивості складних чисел

-Набір складних чисел позначається як C і включає дійсні числа R та уявні числа Im. Набори чисел представлені на діаграмі Венна, як показано на наступному малюнку:

Малюнок 2. Діаграма Венна з числових наборів. Джерело: Ф. Сапата.

-Все комплексне число складається з реальної частини і уявної частини.

-Коли уявна частина комплексного числа дорівнює 0, це чисте дійсне число.

-Якщо реальна частина складного числа дорівнює 0, то число є чисто уявним.

-Дві складні числа рівні, якщо їх відповідна реальна частина та уявна частина однакові.

-Зі складними числами здійснюються відомі операції додавання, віднімання, множення, добутку та вдосконалення, в результаті чого виникає ще одне складне число.

Представлення складних чисел

Складні числа можуть бути представлені різними способами. Ось основні з них:

- Біноміальна форма

Це форма, задана на початку, де z - комплексне число, a - реальна частина, b - уявна частина, i i - уявна одиниця:

Або також:

Один із способів графіки складного числа - через складну площину, показану на цьому малюнку. Уявна вісь Im вертикальна, тоді як реальна вісь горизонтальна і позначається як Re.

Комплексне число z представлено в цій площині у вигляді точки координат (x, y) або (a, b), як це робиться з точками реальної площини.

Відстань від початку до точки z - це модуль комплексного числа, позначений як r, тоді як φ - кут, який r робить з реальною віссю.

Малюнок 3. Представлення складного числа у складному площині. Джерело: Wikimedia Commons.

Це уявлення тісно пов'язане з представленням векторів у реальній площині. Значення r відповідає модулю комплексного числа.

- Полярна форма

Полярна форма складається з вираження складного числа, даючи значення r і φ. Якщо ми подивимось на рисунок, значення r відповідає гіпотенузі прямого трикутника. Ноги варті a і b, або x і y.

З двочленної або двочленної форми ми можемо перейти до полярної форми шляхом:

Кут φ - це той, який утворюється відрізком r з горизонтальною віссю або уявною віссю. Він відомий як аргумент складного числа. Таким чином:

Аргумент має нескінченні значення, беручи до уваги, що кожного разу, коли повертається поворот, який вартує 2π радіанів, r знову займає те саме положення. У цьому загальному способі аргумент z, позначений Arg (z), виражається так:

Де k - ціле число і використовується для позначення кількості повернених витків: 2, 3, 4…. Знак вказує напрямок обертання, якщо він знаходиться за годинниковою або проти годинникової стрілки.

Малюнок 4. Полярне подання комплексного числа в складній площині. Джерело: Wikimedia Commons.

І якщо ми хочемо перейти від полярної форми до двочленної форми, використовуємо тригонометричні відношення. З попереднього малюнка ми бачимо, що:

x = r cos φ

y = r sin φ

Таким чином z = r (cos φ + i sin φ)

Яке скорочено так:

z = r cis φ

Приклади складних чисел

У двочленній формі наведені такі складні числа:

а) 3 + i

б) 4

г) -6і

І вони у вигляді впорядкованої пари:

а) (-5, -3)

б) (0, 9)

в) (7,0)

Нарешті, ця група задається у полярній чи тригонометричній формі:

а) √2 cis 45º

б) √3 cis 30º

в) 2 цис 315º

Для чого вони?

Корисність складних чисел виходить за рамки вирішення квадратичного рівняння, показаного на початку, оскільки вони є важливими в галузі інженерії та фізики, особливо в:

-Вивчення електромагнітних хвиль

-Аналіз змінного струму і напруги

-Моделювання всіх видів сигналів

-Теорія відносності, де час приймається як уявна величина.

Операції зі складними номерами

За допомогою складних чисел ми можемо виконати всі операції, які виконуються з реальними. Деякі з них простіше зробити, якщо числа надходять у двочленній формі, такі як додавання та віднімання. На відміну від цього, множення і ділення простіші, якщо вони здійснюються з полярною формою.

Давайте подивимось кілька прикладів:

- Приклад 1

Додайте z ₁ = 2 + 5i і z ₂ = -3 -8i

Рішення

Реальні частини додаються окремо від уявних частин:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Приклад 2

Помножте z ₁ = 4 cis 45º і z ₂ = 5 cis 120º

Рішення

Можна показати, що добуток двох складних чисел у полярній чи тригонометричній формі задається:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Відповідно до цього:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Застосування

Просте застосування складних чисел - це знайти всі корені поліномного рівняння, подібного до показаного на початку статті.

У випадку рівняння x ² - 10x + 34 = 0, застосувавши розв’язувальну формулу, отримаємо:

Тому рішення:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Список літератури

1. Граф, Р. Складні числа. Відновлено: maths.ox.ac.uk
2. Фігера, Ж. 2000. Математика 1-е. Різноманітний. Видання CO-BO
3. Гофман, Дж. 2005. Вибір тем з математики. Публікації Monfort.
4. Хіменес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
5. Вікіпедія. Складні числа. Відновлено з: en.wikipedia.org