ПАРАЛЕЛЕПІПЕД: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ВИДИ, ПЛОЩА, ОБСЯГ - МАТЕМАТИКА - 2025

Паралелепіпеда є геометричне тіло складається з шести граней, основною характеристикою яких є те , що всі його граней паралелограмів , а також , що її протилежні сторони паралельні один одному. Це звичайний багатогранник у нашому повсякденному житті, оскільки ми можемо знайти його в коробках для взуття, формі цегли, формі мікрохвильовки тощо.

Будучи багатогранником, паралелепіпед охоплює кінцевий об'єм і всі його грані плоскі. Вона входить до групи призм, які є тими багатогранниками, у яких всі її вершини містяться у двох паралельних площинах.

Елементи паралелепіпеда

Обличчя

Вони є кожною з областей, утворених паралелограмами, що обмежують паралелепіпед. Паралелепіпед має шість граней, де кожна грань має чотири суміжні грані та одне протилежне. Також кожне обличчя паралельне своїй протилежності.

Краї

Вони є спільною стороною двох облич. Загалом паралелепіпед має дванадцять ребер.

Вершина

Це спільна точка трьох граней, які примикають один до одного два на два. Паралелепіпед має вісім вершин.

Діагональна

Давши дві грані паралелепіпеда, протилежні одна одній, ми можемо провести відрізок лінії, що йде від вершини однієї грані до протилежної вершини іншої.

Цей відрізок відомий як діагональ паралелепіпеда. Кожен паралелепіпед має чотири діагоналі.

Центр

Це точка, в якій перетинаються всі діагоналі.

Характеристика паралелепіпеда

Як ми вже згадували, це геометричне тіло має дванадцять ребер, шість граней та вісім вершин.

У паралелепіпеді можна виділити три множини, утворені чотирма ребрами, які паралельні один одному. Крім того, краї згаданих наборів також мають властивість мати однакову довжину.

Іншою властивістю, якими володіють паралелепіпеди, є те, що вони опуклі, тобто якщо ми візьмемо будь-яку пару точок, що належать до внутрішньої частини паралелепіпеда, відрізок, визначений вказаною парою точок, також буде знаходитися в межах паралелепіпеда.

Крім того, паралелепіпеди, що є опуклими багатогранниками, відповідають теоремі Ейлера про багатогранники, що дає нам залежність між кількістю граней, кількістю ребер та кількістю вершин. Ця залежність задається у вигляді наступного рівняння:

C + V = A + 2

Ця характеристика відома як характеристика Ейлера.

Де C - кількість граней, V - кількість вершин і А - кількість ребер.

Типи

Ми можемо класифікувати паралелепіпеди на основі їх обличчя на такі типи:

Ортоедр

Вони є паралелепіпедами, де їх грані утворені шістьма прямокутниками. Кожен прямокутник перпендикулярний до тих, що ділять ребро. Вони є найпоширенішими в нашому повсякденному житті, це звичайна форма коробки для взуття та цегли.

Регулярний куб або шестигранник

Це окремий випадок попереднього, де кожне з граней - квадрат.

Куб також є частиною геометричних тіл, які називаються платоновими твердими тілами. Платонове тверде тіло - це опуклий багатогранник, так що і його грані, і його внутрішні кути рівні між собою.

Ромбоедр

Це паралелепіпед з ромбами для обличчя. Ці ромби всі рівні між собою, оскільки вони ділять ребра.

Ромбоедр

Її шість граней - ромбоїди. Нагадаємо, що ромбоїд - це багатокутник з чотирма сторонами та чотирма кутами, які рівні два-два. Ромбоїди - це паралелограми, які не є ні квадратами, ні прямокутниками, ні ромбами.

З іншого боку, косі паралелепіпеди - це ті, у яких хоча б одна висота не узгоджується з їхнім краєм. У цю класифікацію можна віднести ромбоедри та ромбоедри.

Розрахунок діагоналей

Для обчислення діагоналі ортоедра ми можемо використати теорему Піфагора для R ³ .

Нагадаємо, що ортоедр має характеристику, що кожна сторона перпендикулярна сторонам, які розділяють ребро. З цього факту можна зробити висновок, що кожне ребро перпендикулярне до тих, що мають вершину.

Для обчислення довжини діагоналі ортоедра ми поступаємо так:

1. Обчислюємо діагональ однієї з граней, яку поставимо як основу. Для цього ми використовуємо теорему Піфагора. Назвемо цю діагональ d _b .

2. Тоді за допомогою d _b ми можемо сформувати новий правильний трикутник, такий, що гіпотенуза згаданого трикутника - це діагональ D, яку ми шукаємо.

3. Ми знову використовуємо теорему Піфагора і маємо, що довжина цієї діагоналі дорівнює:

Інший спосіб обчислити діагоналі більш графічним способом - це додавання вільних векторів.

Нагадаємо, два вільних вектори A і B додаються, розміщуючи хвіст вектора B з кінчиком вектора A.

Вектор (A + B) - це той, який починається в хвості A і закінчується на кінчику B.

Розглянемо паралелепіпед, для якого ми хочемо обчислити діагональ.

Краї ми ототожнюємо зі зручно орієнтованими векторами.

Потім додаємо ці вектори, і отриманий вектор буде діагоналлю паралелепіпеда.

Площа

Площа паралелепіпеда задається сумою кожної з областей його граней.

Якщо визначити одну із сторін як основу,

A _L + 2A _B = загальна площа

Де A _L дорівнює сумі площ усіх сторін, що примикають до основи, називається бічною площею, а A _B - площею основи.

Залежно від типу паралелепіпеда, з яким ми працюємо, ми можемо переписати цю формулу.

Площа ортоедра

Він заданий формулою

A = 2 (ab + bc + ca).

Приклад 1

З огляду на наступний ортоедр, зі сторонами a = 6 см, b = 8 см і с = 10 см, обчисліть площу паралелепіпеда та довжину його діагоналі.

Використовуючи формулу для площі ортоедра, ми маємо це

А = 2 = 2 = 2 = 376 см ² .

Зауважте, що оскільки це ортоедр, довжина будь-якої з чотирьох його діагоналей однакова.

Використовуючи теорему Піфагора для простору, ми маємо це

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Площа куба

Оскільки кожне ребро має однакову довжину, маємо, що a = b і a = c. Підміна в попередній формулі у нас є

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

А = 6а ²

Приклад 2

Коробка ігрової консолі має форму куба. Якщо ми хочемо обернути цю коробку подарунковою упаковкою, скільки паперу ми б витратили, знаючи, що довжина країв куба становить 45 см?

Використовуючи формулу для площі куба, отримуємо це

А = 6 (45 см) ² = 6 (2025 см ² ) = 12150 см ²

Площа ромбоедра

Оскільки всі їхні обличчя однакові, просто обчисліть площу одного з них і помножте на шість.

Ми маємо, що площа ромба може бути обчислена через його діагоналі за такою формулою

A _R = (Dd) / 2

З цієї формули випливає, що загальна площа ромбоедра становить

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Приклад 3

Грані наступних ромбоедрів утворені ромбом, діагоналі якого D = 7 см і d = 4 див. Ваш район буде

А = 3 (7см) (4см) = 84см ² .

Площа ромбоедра

Для обчислення площі ромбоедра ми повинні обчислити площу ромбоїдів, які його складають. Оскільки паралелепіпеди виконують властивість того, що протилежні сторони мають однакову площу, ми можемо об'єднати сторони у три пари.

Таким чином, ми маємо, що ваша область буде

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Де b _i - бази, пов'язані зі сторонами, а h _i їх відносна висота, що відповідає цим основам.

Приклад 4

Розглянемо наступний паралелепіпед,

де сторона A і сторона A '(її протилежна сторона) мають основу b = 10 і висоту h = 6. Позначена площа матиме значення

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B і B 'мають b = 4 і h = 6, значить

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC і C ', таким чином, мають b = 10 і h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Нарешті площа ромбоедра

А = 120 + 48 + 100 = 268.

Об'єм паралелепіпеда

Формула, яка дає нам об'єм паралелепіпеда, - це добуток площі однієї з її граней на висоту, відповідну цій грані.

V = A _C h _C

Залежно від типу паралелепіпеда цю формулу можна спростити.

Таким чином, ми маємо, наприклад, що об'єм ортоедра буде заданий

V = абс.

Де a, b і c позначають довжину ребер ортоедра.

І в конкретному випадку куб є

V = a ³

Приклад 1

Існують три різні моделі скриньки cookie, і ви хочете знати, в якій із цих моделей ви можете зберігати більше файлів cookie, тобто яка з ящиків має найбільший обсяг.

Перший - куб, край якого має довжину a = 10 див

Його об'єм буде V = 1000 см ³

Другий має ребра b = 17 см, c = 5 см, d = 9 див

А тому його об'єм V = 765 см ³

А третя має e = 9 см, f = 9 см і g = 13 див

А його об'єм V = 1053 см ³

Тому коробка з найбільшим об'ємом - третя.

Інший метод отримання обсягу паралелепіпеда - використання векторної алгебри. Зокрема, трійковий крапковий виріб.

Однією з геометричних інтерпретацій трійного скалярного добутку є об'єм паралелепіпеда, ребра якого є трьома векторами, що мають ту саму вершину, що і вихідна точка.

Таким чином, якщо у нас є паралелепіпед і ми хочемо знати, який його об'єм, досить представити його в системі координат в R ^3, зробивши одну з його вершин співпадаючи з початком.

Потім представляємо ребра, що збігаються біля початку, з векторами, як показано на малюнку.

І таким чином ми маємо, що об'єм згаданого паралелепіпеда задається через

V = - AxB ∙ C-

Або еквівалентним чином об'єм є визначником матриці 3 × 3, утвореної компонентами крайових векторів.

Приклад 2

Представляючи наступний паралелепіпед в R ^3, ми можемо бачити, що вектори, які його визначають, є такими

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) і w = (-0,25, -4, 4)

Використовуючи у нас потрійний скалярний продукт

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

З цього робимо висновок, що V = 60

Розглянемо наступний паралелепіпед у R3, ребра якого визначаються векторами

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) і C = (3, 4, 4)

Використання визначників дає нам це

Таким чином, маємо, що об'єм зазначеного паралелепіпеда дорівнює 112.

Обидва є рівнозначними способами обчислення обсягу.

Ідеальний паралелепіпед

Ортоедр відомий як цегла Ейлера (або блока Ейлера), яка виконує властивість, що і довжина його країв, і довжина діагоналей кожної з її граней є цілими числами.

Хоча Ейлер був не першим вченим, який вивчав ортоедри, які виконують цю властивість, він виявив цікаві результати щодо них.

Найменшу цеглу Ейлера виявив Пол Гальк, а довжини її країв a = 44, b = 117 і c = 240.

Відкрита проблема теорії чисел полягає в наступному

Чи є ідеальні ортоедри?

В даний час на це запитання не отримано відповідей, оскільки не вдалося довести, що таких органів не існує, але жодного з них не було знайдено.

Дотепер показано, що існують досконалі паралелепіпеди. Перший виявлений має довжину його країв значень 103, 106 та 271.

Бібліографія

1. Гай, Р. (1981). Нерозв’язані задачі в теорії чисел. Спрингер.
2. Ландаверде, Ф. д. (1997). Геометрія. Прогрес.
3. Лейтхолд, Л. (1992). Розрахунок з аналітичною геометрією. HARLA, SA
4. Рендон, А. (2004). Технічний малюнок: Книга діяльності 3 2-е Бачиллерато. Тебар.
5. Реснік, Р., Халлідей, Д., Кран, К. (2001). Фізика Т. 1. Мексика: континентальний.