- Помітні продукти та приклади
- Двозначний квадрат
- Продукт сполучених двочленів
- Добуток двох двочленів із загальним членом
- Многочлен у квадраті
- Двозначні кубики
- Куб тричлена
- Розв’язували вправи помітних творів
- Вправа 1
- Рішення
- Вправа 2
- Рішення
- Список літератури
Ці чудові продукти є алгебраїчними операціями, в яких виражаються множення многочленів, які не повинні бути вирішені традиційно, але і за допомогою певних правил можна знайти результати одного і ті ж.
Поліноми множать на так, тому можливо, що вони мають велику кількість доданків і змінних. Щоб зробити процес коротшим, використовуються помітні правила продукту, які дозволяють множити без необхідності терміну терміна.
Помітні продукти та приклади
Кожен помітний продукт - це формула, яка є результатом факторизації, складеної з многочленів декількох доданків, таких як двочлени або тричлени, звані факторами.
Фактори є основою сили і мають показник. Коли множники множать, показники повинні бути додані.
Існує кілька чудових формул продуктів, деякі з них використовуються більше, ніж інші, залежно від поліномів, і вони наступні:
Двозначний квадрат
Це множення двочлена на себе, виражене як потужність, де додані або віднімаються доданки:
до. Квадратна сума двочлена: вона дорівнює квадрату першого члена, плюс удвічі добуток доданків, плюс квадрат другого доданка. Він виражається так:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
На наступному малюнку ви бачите, як продукт розвивається за вищезазначеним правилом. Результат називається тричленом досконалого квадрата.
Приклад 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Приклад 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
б. Двозначне віднімання у квадраті: застосовується те саме правило двочлена суми, лише в цьому випадку другий доданок є від’ємним. Його формула така:
(а - б) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
Приклад 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Продукт сполучених двочленів
Два двочлени поєднуються, коли другі члени кожного мають різні ознаки, тобто перший є позитивним, а другий негативним або навпаки. Він розв’язується шляхом зіставлення кожного одночлена і віднімання. Його формула така:
(a + b) * (a - b)
На наступному малюнку розроблено добуток двох сполучених двочленів, де видно, що результат - різниця квадратів.
Приклад 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Добуток двох двочленів із загальним членом
Це один із найскладніших і рідко використовуваних помітних продуктів, оскільки це множення двох біномів, які мають спільний термін. У правилі зазначено наступне:
- Квадрат загального терміна.
- Плюс суму суми, які не є загальними, а потім помножте їх на загальний термін.
- Плюс сума множення доданків, які не є загальними.
Він представлений у формулі: (x + a) * (x + b) і розвивається так, як показано на зображенні. Результат - неідеальний квадратний тричлен.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Існує можливість, що другий доданок (різний термін) є негативним, а його формула така: (x + a) * (x - b).
Приклад 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Також може бути так, що обидва різні терміни є негативними. Його формула буде: (x - a) * (x - b).
Приклад 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Многочлен у квадраті
У цьому випадку існує більше двох доданків, і для їх розвитку кожен з них складається в квадрат і додається разом із подвоєним множенням одного доданка на інший; його формула: (a + b + c) 2, а результат операції - тричлен квадратного розміру.
Приклад 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Двозначні кубики
Це надзвичайно складний продукт. Щоб розвинути його, двочлен помножимо на його квадрат таким чином:
до. Для двочленного куба суми:
- Куб першого доданка плюс тричі більший квадрат першого доданка, кращий другому.
- Плюс потрійний перший термін, раз у другому квадраті.
- Плюс куб другого члена.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
Приклад 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
б. Для двочленного куба віднімання:
- Куб першого доданка, мінус три рази більше площі першого доданка, менший від другого.
- Плюс потрійний перший термін, раз у другому квадраті.
- Мінус куба другого члена.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Приклад 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Куб тричлена
Він розробляється множенням його на квадрат. Це дуже обширний чудовий продукт, оскільки у вас є 3 доданки в кубіку, плюс три рази в кожному квадраті, помножене на кожен доданок, плюс шість разів добуток трьох термінів. Побачено краще:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Приклад 1
Розв’язували вправи помітних творів
Вправа 1
Розкладіть такі двочленні кубики: (4х - 6) 3 .
Рішення
Пам’ятаючи, що двочленний куб дорівнює першому доданому кубі, мінус утричі більший за площу першого доданка, менший за другий; плюс потрійний показник першого доданка, кратний другому квадрату, мінус куб другого члена.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4х - 6) 3 = 64х 3 - 288х 2 + 432х - 36.
Вправа 2
Розробіть такий двочлен: (x + 3) (x + 8).
Рішення
Існує двочлен, де є загальний термін, а це х, а другий доданок - позитивний. Щоб розробити його, вам потрібно лише скласти квадратний загальний додаток плюс суму доданків, які не є загальними (3 та 8), а потім помножити їх на загальний додаток плюс суму множення доданків, які не є загальними.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Список літератури
- Angel, AR (2007). Елементарна алгебра. Pearson Education,.
- Артур Гудман, LH (1996). Алгебра та тригонометрія з аналітичною геометрією. Пірсон освіта.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. Великобританія: Ратна Сагар.
- Джером Е. Кауфман, К.Л. (2011). Елементарна та проміжна алгебра: комбінований підхід. Флорида: Cengage Learning.
- Перес, CD (2010). Пірсон освіта.