СКЛАДЕНА ПРОПОРЦІЙНІСТЬ: ПОЯСНЕННЯ, СКЛАДЕНЕ ПРАВИЛО ТРЬОХ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Композит або кілька пропорційності являє собою відношення двох величин більше, що можна спостерігати безпосередньо , так і зворотна пропорційність між даними і невідомим. Це більш вдосконалена версія простої пропорційності, хоча методи, що застосовуються в обох процедурах, схожі.

Наприклад, якщо для вивантаження 10 тонн товару за 3 години потрібно 7 чоловік, складна пропорційність може бути використана для підрахунку, скільки людей знадобиться, щоб вивантажити 15 тонн за 4 години.

Джерело: pixabay.com

Щоб відповісти на це питання, зручно скласти таблицю значень для вивчення та співвідношення величин і невідомих.

Переходимо до аналізу типів взаємозв'язків між кожною величиною та теперішнім невідомим, що для цього випадку відповідає кількості людей, які працюватимуть.

Зі збільшенням ваги товару збільшується кількість людей, необхідних для його вивантаження. Через це зв’язок між вагою та працівниками є прямим.

З іншого боку, зі збільшенням кількості робітників робочий час зменшується. Завдяки цьому відносини між людьми та робочим часом мають зворотний тип.

Як обчислити складові пропорційності

Для вирішення таких прикладів, як описаний вище, в основному використовується складне правило трьох методів. Це полягає у встановленні типів зв’язків між величинами та невідомими, а потім представлення добутку між дробами.

Стосовно початкового прикладу дроби, що відповідають таблиці значень, організовані так:

Але перед тим, як розв’язати та розв’язати невідоме, дроби, відповідні оберненій залежності, повинні бути перевернуті. Які для цього випадку відповідають змінному часу. Таким чином, операція, яку потрібно вирішити, буде:

Чия лише різниця - інверсія дробу, що відповідає змінній часу 4/3. Переходимо до операції та очищаємо значення x.

Таким чином, потрібно більше одинадцяти людей, щоб мати можливість вивантажити 15 тонн товару за 4 години і менше.

Пояснення

Пропорційність - це постійний взаємозв'язок між величинами, що підлягають зміні, який буде симетричним для кожної із залучених кількостей. Існують прямо та обернено пропорційні співвідношення, визначаючи таким чином параметри простої або складної пропорційності.

Пряме правило трьох

Він складається із співвідношення пропорцій між змінними, які показують однакову поведінку при модифікації. Це дуже часто при обчисленні відсотків, що стосуються величин, окрім ста, де його основна структура оцінена.

Наприклад, можна вирахувати 15% від 63. На перший погляд, цей відсоток неможливо легко оцінити. Але реалізуючи правило три, можна скласти такі відносини: якщо 100% - 63, то 15%, скільки це буде?

100% ---- 63

15% ---– X

І відповідна операція:

(15%. 63) / 100% = 9,45

Там, де відсоткові знаки спрощені, і виходить цифра 9,45, що становить 15% від 63.

Зворотне правило трьох

Як вказує його назва, у цьому випадку зв’язок між змінними протилежний. Зворотна залежність повинна бути встановлена, перш ніж приступити до розрахунку. Її процедура є гомологічною процедурі прямого правила трьох, за винятком вкладення у фракцію, яку слід обчислити.

Наприклад, 3 художникам потрібно 5 годин, щоб закінчити стіну. За скільки годин 4 художники закінчать це?

У цьому випадку відносини зворотні, оскільки зі збільшенням кількості художників час роботи повинен зменшуватися. Взаємовідносини встановлюються;

3 живописці - 5 годин

4 живописці - X год

По мірі того, як відносини зворотні, порядок роботи змінюється. Це правильний шлях;

(3 живописці). (5 годин) / 4 живописці = 3,75 години

Термін малярів спрощений, а результат - 3,75 години.

Хвороба

Для наявності сполуки чи множинної пропорційності необхідно знайти обидва типи взаємозв'язку між величинами та змінними.

- Прямий: змінна має таку саму поведінку, як і невідома. Тобто, коли одна збільшується або зменшується, інша змінюється однаково.

- Зворотне: змінна має антонімічну поведінку до невідомої. Частка, яка визначає зазначену змінну в таблиці значень, повинна бути інвертована, щоб представити обернено пропорційну залежність між змінною та невідомою.

Перевірка результатів

Дуже часто плутати порядок величин при роботі зі складними пропорційностями, на відміну від того, що відбувається в звичайних пропорційних обчисленнях, природа яких здебільшого пряма і вирішується за допомогою простого правила трьох.

З цієї причини важливо вивчити логічний порядок результатів, перевіривши узгодженість фігур, отриманих за складеним правилом трьох.

У первинному прикладі зробити таку помилку було б результатом 20. Тобто 20 людей вивантажать 15 тонн товару за 4 години.

На перший погляд це не здається шаленим результатом, але цікавим є збільшення майже на 200% персоналу (з 7 до 20 осіб), коли збільшення товару становить 50%, і навіть з більшим запасом часу на здійснення робота.

Таким чином, логічна перевірка результатів є важливим кроком у реалізації складеного правила трьох.

Кліренс

Хоча більш базовий характер щодо математичної підготовки, оформлення є важливим кроком у випадках пропорційності. Помилковий зазор достатній, щоб визнати недійсним будь-який результат, отриманий у простому або складеному правилі з трьох.

Історія

Правило трьох стало відомим на Заході через арабів, з публікаціями різних авторів. Серед них Аль-Джурізмі та Аль-Біруні.

Аль-Біруні, завдяки своїм мультикультурним знанням, отримав доступ до великої інформації щодо цієї практики під час поїздок до Індії, відповідаючи за найширшу документацію щодо правила трьох.

У своєму дослідженні він констатує, що Індія була першим місцем, де використання правила трьох стало загальним. Письменник запевняє, що це було виконано плавно в прямих, зворотних і навіть складених версіях.

Точна дата, коли правило трьох стало частиною математичних знань Індії, досі невідомо. Однак найдавніший документ, що стосується цієї практики, рукопис Бахшалі, був виявлений у 1881 році. Зараз він знаходиться в Оксфорді.

Багато істориків математики стверджують, що цей рукопис датується початком теперішньої епохи.

Розв’язані вправи

Вправа 1

Авіакомпанія повинна перевозити 1535 осіб. Відомо, що на 3 літаки знадобиться 12 днів, щоб дістати останнього пасажира до місця призначення. Ще 450 людей прибули до авіакомпанії, і 2 літаки наказано відремонтувати, щоб допомогти у виконанні цього завдання. Скільки днів буде потрібно авіакомпанії, щоб перевезти кожного останнього пасажира до місця призначення?

Співвідношення між кількістю людей та днями роботи є прямим, оскільки чим більша кількість людей, тим більше днів знадобиться для виконання цієї роботи.

З іншого боку, відносини між літаками та днями обернено пропорційні. Зі збільшенням кількості літаків кількість днів, необхідних для перевезення всіх пасажирів, зменшується.

Складається таблиця значень, що стосуються цього випадку.

Як детально описано в початковому прикладі, чисельник та знаменник повинні бути перевернуті у дробі, що відповідає оберненій змінній щодо невідомого. Операція полягає в наступному:

X = 71460/7675 = 9,31 день

Для перевезення 1985 людей, які використовують 5 літаків, потрібно більше 9 днів.

Вправа 2

25-тонну врожай кукурудзи вивозять на вантажні вантажівки. Відомо, що попереднього року на заробітну плату 150 робітників знадобилося їм 8 годин. Якщо за цей рік нарахування заробітної плати збільшилось на 35%, скільки часу знадобиться їм для заповнення вантажних автомобілів 40-тонним урожаєм?

Перш ніж представити таблицю цінностей, необхідно визначити кількість працівників за цей рік. Це збільшилося на 35% від початкової цифри 150 працівників. Для цього використовується пряме правило трьох.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35 100) / 100 = 52,5. Це кількість додаткових працівників відносно попереднього року, отримавши загальну кількість робітників 203, після округлення отриманої суми.

Переходимо до визначення відповідної таблиці даних

У цьому випадку вага являє собою змінну, безпосередньо пов'язану з невідомим часом. З іншого боку, змінна працівник має зворотний зв’язок із часом. Чим більша кількість робітників, тим коротший робочий день.

Беручи до уваги ці міркування та перевертаючи частку, що відповідає змінній робітників, переходимо до розрахунку.

X = 40600/6000 = 6,76 годин

Подорож займе трохи менше 7 годин.

Запропоновані вправи

- Визначте 73% від 2875.

- Обчисліть кількість годин, коли Тереза ​​спить, якщо відомо, що вона спить лише 7% від загальної кількості за день. Визначте, скільки годин ви спите на тиждень.

- Газета видає 2000 примірників кожні 5 годин, використовуючи лише 2 друкарські машини. Скільки примірників він виготовить за 1 годину, якщо він використовує 7 машин? Скільки часу знадобиться для виготовлення 10000 примірників за допомогою 4 машин?

Список літератури

1. Енциклопедія Альварес-ініціація. А. Альварес, Антоніо Альварес Перес. ЄДАФ, 2001.
2. Повний посібник з початкової та вищої початкової інструкції: для використання починаючих вчителів і особливо учнів Нормальних шкіл провінції, Том 1. Хоакін Авенданьо. Друк Д. Діонісіо Ідальго, 1844 рік.
3. Раціональне наближення реальних функцій. П.П. Петрушев, Попов Василь Атанасов. Cambridge University Press, 3 березня. 2011 рік.
4. Елементарна арифметика для викладання в школах та коледжах Центральної Америки. Даріо Гонсалес. Порада. Ареналес, 1926 рік.
5. Вивчення математики: Про вивчення та труднощі математики. Август Де Морган. Болдуін і Крадок, 1830 рік.