У типах інтегралів , які ми знаходимо в обчисленні є невизначеними інтегралами і певні інтеграли. Хоча певні інтеграли мають набагато більше застосувань, ніж невизначені інтеграли, необхідно спочатку навчитися розв'язувати невизначені інтеграли.
Одне з найпривабливіших застосувань певних інтегралів - це обчислення об'єму обертання твердого тіла. Обидва типи інтегралів мають однакові властивості лінійності, а також методи інтеграції не залежать від типу інтеграла.
Твердість революції
Але незважаючи на те, що вони дуже схожі, є одна основна відмінність; у першому типі інтеграла результат є функцією (яка не є специфічною), тоді як у другому типі результат є числом.
Основні типи інтегралів
Світ інтегралів дуже широкий, але всередині нього можна виділити два основні типи інтегралів, які мають велику придатність у повсякденному житті.
1- Індефініті інтеграли
Якщо F '(x) = f (x) для всіх x в області f, ми говоримо, що F (x) є антидеривативом, примітивом або інтегралом f (x).
З іншого боку, зауважимо, що (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), з чого випливає, що інтеграл функції не є унікальним, оскільки даючи різні значення константі C, ми отримаємо різні антидеривативи.
З цієї причини F (x) + C називається невизначеним інтегралом f (x), а C називається константою інтеграції, і записуємо його наступним чином
Невизначений інтеграл
Як ми бачимо, невизначений інтеграл функції f (x) - це сімейство функцій.
Наприклад, якщо ви хочете знайти невизначений інтеграл функції f (x) = 3x², спершу потрібно знайти антидериват f (x).
Неважко помітити, що F (x) = x³ є антидеривативом, оскільки F '(x) = 3x². Тому можна зробити висновок, що
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Визначені інтеграли
Нехай y = f (x) - реальна, неперервна функція на замкнутому проміжку, і F (x) є антидеривативом f (x). Визначений інтеграл f (x) між межами a і b називається числом F (b) -F (a) і позначається наступним чином
Фундаментальна теорема обчислення
Формула, показана вище, більш відома як "Основна теорія обчислення". Тут "a" називається нижньою межею, а "b" - верхньою межею. Як бачимо, певним інтегралом функції є число.
У цьому випадку, якщо визначений інтеграл f (x) = 3x² обчислюється в інтервалі, буде отримано число.
Для визначення цього числа вибираємо F (x) = x³ як антидериват f (x) = 3x². Тоді обчислюємо F (3) -F (0), що дає результат 27-0 = 27. На закінчення певний інтеграл f (x) на проміжку дорівнює 27.
Можна зазначити, що якщо обрано G (x) = x³ + 3, то G (x) є антидеривативом f (x), відмінним від F (x), але це не впливає на результат, оскільки G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. З цієї причини константа інтеграції не з'являється у визначених інтегралах.
Одним з найбільш корисних застосувань цього типу інтеграла є те, що він дозволяє обчислити площу (об’єм) площини фігури (твердого тіла обертання), встановивши відповідні функції та межі інтеграції (і вісь обертання).
В межах визначених інтегралів ми можемо знайти різні розширення, такі як лінійні інтеграли, поверхневі інтеграли, неправильні інтеграли, множинні інтеграли, серед інших, дуже корисні програми в науці та техніці.
Список літератури
- Кастелейро, Дж. М. (2012). Легко інтегрувати? Посібник для самостійного вивчення. Мадрид: ESIC.
- Кастелейро, Дж. М., Гомес-Альварез, РП (2002). Інтегральне числення (Ілюстрований ред.). Мадрид: Редакція ESIC.
- Флемінг, W., & Varberg, DE (1989). Математика дорахунку. Prentice Hall PTR.
- Флемінг, W., & Varberg, DE (1989). Докалькульна математика: підхід до вирішення проблем (2, Ілюстрована редакція). Мічиган: Prentice Hall.
- Кішань, Х. (2005). Цілісне обчислення. Атлантичні видавці та розповсюджувачі.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Обчислення (дев. Ред.). Prentice Hall.