КОСИЙ РЯДОК: ХАРАКТЕРИСТИКИ, РІВНЯННЯ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Ці косі лінії є ті , які мають нахил, або по стосовно плоскій поверхні або іншої лінії з зазначенням конкретної адреси. Як приклад розглянемо три лінії, намальовані в площині, які відображені на наступному малюнку.

Ми знаємо їх відповідні положення, оскільки порівнюємо їх з опорною лінією, яка зазвичай є віссю x, що позначає горизонталь.

Малюнок 1. Вертикальні, горизонтальні та косі лінії в одній площині. Джерело: Ф. Сапата.

Таким чином, вибираючи горизонтальну як опорну, лінія зліва вертикальна, одна в центрі - горизонтальна, а права - коса, оскільки вона нахилена відносно добових опорних ліній.

Тепер лінії, що знаходяться на одній площині, наприклад поверхня паперу чи екрана, займають різні положення відносно один одного, залежно від того, перетинаються вони чи ні. У першому випадку вони є секційними лініями, а у другому - паралельними.

З іншого боку, семантичні лінії можуть бути косими або перпендикулярними лініями. В обох випадках нахили ліній різні, але похилі лінії утворюють між собою кути α і β, відмінні від 90º, тоді як кути, визначені перпендикулярними лініями, завжди 90º.

На наступному малюнку узагальнено ці визначення:

Малюнок 2. Відносні положення між прямими: паралельні, косі та перпендикулярні відрізняються кутом, який вони утворюють один з одним. Джерело: Ф. Сапата.

Рівняння

Щоб знати відносні положення ліній у площині, необхідно знати кут між ними. Зауважте, що рядки:

Паралельно : якщо вони мають однаковий нахил (однаковий напрямок) і ніколи не перетинаються, тому їх точки рівновіддалені.

Випадки : коли всі його точки збігаються і тому мають однаковий нахил, але відстань між його точками дорівнює нулю.

Сушарки : якщо їх схили різняться, відстань між їх точками змінюється, і перетин є єдиною точкою.

Отож один із способів дізнатися, чи дві лінії в площині є секційними або паралельними через їх нахил. Критерії паралелізму та перпендикулярності ліній такі:

Якщо, знаючи нахили двох прямих у площині, жоден із зазначених вище критеріїв не виконується, робимо висновок, що прямі - косі. Знаючи дві точки на прямій, нахил обчислюється негайно, як ми побачимо в наступному розділі.

З'ясувати, чи є дві прямі секційними або паралельними, знаходячи їх перетин, розв’язуючи систему рівнянь, яку вони утворюють: якщо є рішення, вони є секвентами, якщо розв’язку немає, то вони паралельні, але якщо розв’язки нескінченні, лінії збігаються.

Однак цей критерій не інформує нас про кут між цими лініями, навіть якщо вони перетинаються.

Щоб знати кут між прямими, нам потрібні два вектори u і v, які належать кожному з них. Таким чином, можна знати кут, який вони утворюють за допомогою скалярного добутку векторів, визначеного таким чином:

u • v = uvcos α

Рівняння прямої в площині

Рядок в декартовій площині може бути представлений кількома способами, такими як:

- Форма перехрестя нахилу: якщо m - нахил лінії, а b - перетин лінії з вертикальною віссю, рівняння прямої y = mx + b.

- Загальне рівняння прямої : Ax + By + C = 0, де m = A / B - нахил.

У декартовій площині вертикальні та горизонтальні лінії є окремими випадками рівняння прямої.

- вертикальні лінії : x = a

- Горизонтальні лінії : y = k

Малюнок 3. Зліва вертикальна лінія x = 4 і горизонтальна лінія y = 6. Праворуч приклад косої лінії. Джерело: Ф. Сапата.

У прикладах на малюнку 3 вертикальна червона лінія має рівняння x = 4, тоді як лінія, паралельна осі x (синя), має рівняння y = 6. Що стосується лінії праворуч, ми бачимо, що вона коса і щоб знайти його рівняння, використовуємо точки, виділені на рисунку: (0,2) та (4,0) таким чином:

Розріз цієї лінії з вертикальною віссю дорівнює y = 2, як видно з графіку. З цією інформацією:

Визначити кут нахилу відносно осі x легко. Я відчуваю, що:

Тому позитивний кут від осі x до прямої становить: 180º - 26,6º = 153,4º

Приклади косих ліній

Малюнок 4. Приклади косих ліній. Джерело: фехтувальник Ян Паттерсон. Піза схиляється башта. Піксабай.

Косих ліній з'являються в багатьох місцях, варто звернути увагу, щоб знайти їх в архітектурі, спорті, електропроводці, трубах та багатьох інших місцях. У природі косі лінії також присутні, як ми побачимо нижче:

Промені світла

Сонячне світло рухається по прямій, але кругла форма Землі впливає на те, як сонячне світло потрапляє на поверхню.

На зображенні нижче ми можемо чітко бачити, що сонячні промені вражають перпендикулярно в тропічних регіонах, але натомість косо досягають поверхні в помірних регіонах та на полюсах.

Ось чому сонячні промені проходять більшу відстань через атмосферу, а також тепло поширюється на більшу поверхню (див. Рисунок). Результат - місцевості біля полюсів холодніші.

Малюнок 5. Сонячні промені косо падають у помірних зонах і на полюсах, натомість вони більш-менш перпендикулярні у тропіках. Джерело: Wikimedia Commons.

Лінії, які не знаходяться в одній площині

Коли дві лінії не знаходяться в одній площині, вони все ще можуть бути косими або перекрученими, як вони також відомі. У цьому випадку їх директора вектори не паралельні, але оскільки вони не належать до однієї площини, ці лінії не перетинаються.

Наприклад, лінії на малюнку 6 справа чітко розташовані в різних площинах. Якщо ви подивитесь на них зверху, ви можете бачити, що вони перетинаються, але вони не мають спільної точки. Праворуч ми бачимо колеса велосипеда, спиці якого, схоже, перехрещуються, якщо дивитися спереду.

Малюнок 6. Косими лініями, що належать до різних площин. Джерело: ліворуч Ф. Сапата, праворуч Піксабай.

Список літератури

1. Геометрія. Директор вектор лінії. Відновлено з: juanbragado.es.
2. Ларсон, Р. 2006. Розрахунок з аналітичною геометрією. 8-й. Видання. McGraw Hill.
3. Математика - це гра. Лінії та кути. Відновлено з: juntadeandalucia.es.
4. Прямі лінії, які перетинаються. Відновлено з: profesoraltuna.com.
5. Віллена, М. Аналітична геометрія в R3. Відновлено з: dspace.espol.edu.ec.