ДИСКРЕТНА ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є: ВЛАСТИВОСТІ, ПРОГРАМИ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Дискретне перетворення Фур'є є числовий метод , який використовується для визначення зразків , що відносяться до спектральних частот , які складають сигнал. Він вивчає періодичні функції в закритих параметрах, видаючи в результаті ще один дискретний сигнал.

Для отримання дискретного перетворення Фур'є з N точок на дискретному сигналі необхідно виконати наступні 2 умови для послідовності x

TDF

Дискретне перетворення Фур'є можна визначити як вибірку N-точок перетворення Фур'є.

Інтерпретація дискретного перетворення Фур'є

Джерело: Пікселі

Існує 2 точки зору, з яких результати, отримані на послідовності x _s, можна інтерпретувати через дискретне перетворення Фур'є.

- Перший відповідає спектральним коефіцієнтам, уже відомим із ряду Фур'є. Він спостерігається в дискретних періодичних сигналах, при цьому зразки збігаються з послідовністю x _s .

-Друге розглядає спектр дискретного аперіодичного сигналу із зразками, що відповідають послідовності x _s .

Дискретне перетворення - це наближення до спектра вихідного аналогового сигналу. Його фаза залежить від моментів вибірки, тоді як її величина залежить від інтервалу вибірки.

Властивості

Алгебраїчні основи структури складають обґрунтування наступних розділів.

Лінійність

C. S _n → C. Ж; Якщо послідовність помножити на скаляр, його трансформація також буде.

T _n + V _n = F + F; Перетворення суми дорівнює сумі перетворень.

Подвійність

F → (1 / N) S _-k; Якщо дискретне перетворення Фур'є перерахувати на вираз, який вже був перетворений, виходить такий самий вираз, масштабується в N і перевернуто відносно вертикальної осі.

Звитий

Дотримуючись аналогічних цілей, що й у перетворення Лапласа, згортання функцій стосується добутку між їх перетвореннями Фур'є. Конволюція також застосовується до дискретних часів і відповідає за багато сучасних процедур.

X _n * R _n → F .F; Перетворення згортки дорівнює добутку перетворень.

Х _н . R _n → F * F; Перетворення виробу дорівнює згортці перетворень.

Зсув

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) км} ; Якщо послідовність затримується зразками m, її вплив на дискретне перетворення буде модифікацією кута, визначеного (2π / N) км.

Симетрія

X _t = X * _t = X _t

Модуляція

Вт ^-nm _Н . x ↔ X _t

Товар

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Симетрія

X ↔ X _t = X * _t

Кон'югат

x * ↔ X * _t

Рівняння Парсеваля

Що стосується звичайного перетворення Фур'є, воно має кілька подібностей та відмінностей. Перетворення Фур'є перетворює послідовність у суцільну лінію. Таким чином сказано, що результат змінної Фур'є є складною функцією реальної змінної.

Дискретне перетворення Фур'є, на відміну від нього, приймає дискретний сигнал і перетворює його в інший дискретний сигнал, тобто послідовність.

Для чого дискретний перетворення Фур'є?

Вони служать в першу чергу для значного спрощення рівнянь, перетворюючи похідні вирази в силові елементи. Позначення диференціальних виразів в інтегральних поліноміальних формах.

В оптимізації, модуляції та моделюванні результатів він виступає як стандартизований вираз, будучи частим ресурсом для інженерії після кількох поколінь.

Джерело: pixabay

Історія

Ця математична концепція була введена Джозефом Б. Фур'є в 1811 р., Розробляючи трактат про поширення тепла. Її швидко прийняли різні галузі науки та техніки.

Він був створений як основний інструмент роботи при вивченні рівнянь з частковими похідними, навіть порівнюючи його з існуючими робочими відносинами між перетворенням Лапласа та звичайними диференціальними рівняннями.

Кожна функція, яка може працювати з перетворенням Фур'є, повинна мати нуль поза визначеним параметром.

Дискретне перетворення Фур'є та його зворотна

Дискретна трансформація отримується через вираз:

Після заданої дискретної послідовності X

Оберненість дискретного перетворення Фур'є визначається через вираз:

Зворотний ВОМ

Після досягнення дискретного перетворення це дозволяє визначити послідовність у часовій області X.

Крилатий

Процес параметризації, що відповідає дискретному перетворенню Фур'є, лежить у вікні. Для роботи перетворення необхідно обмежити послідовність у часі. У багатьох випадках зазначені сигнали не мають цих обмежень.

Послідовність, яка не відповідає критеріям розміру, що застосовується до дискретного перетворення, може бути помножена на "віконну" функцію V, визначаючи поведінку послідовності в контрольованому параметрі.

X. V

Ширина спектра буде залежати від ширини вікна. Зі збільшенням ширини вікна обчислене перетворення буде вужчим.

Програми

Розрахунок фундаментального рішення

Дискретна трансформація Фур'є є потужним інструментом вивчення дискретних послідовностей.

Дискретне перетворення Фур'є перетворює функцію безперервної змінної в дискретне змінне перетворення.

Завдання Коші для рівняння тепла представляє часте поле застосування дискретного перетворення Фур'є . Якщо генерується основна функція тепла або ядро ​​Діріхле, що застосовується до значень вибірки у визначеному параметрі.

Теорія сигналів

Загальна причина застосування дискретного перетворення Фур'є в цій гілці пов'язана головним чином з характерним розкладанням сигналу як нескінченного суперпозиції більш легко піддаються лікуванню сигналів.

Це може бути звукова хвиля або електромагнітна хвиля, дискретна трансформація Фур'є виражає її в суперпозиції простих хвиль. Це уявлення досить часто в електротехніці.

Серія Фур’є

Вони визначаються серіями «Косинуси» та «Синуси». Вони служать для полегшення роботи із загальними періодичними функціями. При застосуванні вони є частиною прийомів розв’язування звичайних та часткових диференціальних рівнянь.

Серії Фур'є є навіть більш загальними, ніж серії Тейлора, оскільки вони розвивають періодичні розривні функції, які не мають представлення рядів Тейлора.

Інші форми серії Фур'є

Щоб зрозуміти перетворення Фур'є аналітично, важливо переглянути інші способи, за допомогою яких можна знайти ряд Фур'є, поки ми не зможемо визначити ряд Фур'є у його складних позначеннях.

-Фор'єр Фур'є на функції періоду 2L:

Розглядається інтервал, який пропонує переваги при використанні симетричних характеристик функцій.

Якщо f парне, ряд Фур'є встановлюється як ряд косинусів.

Якщо f непарне, ряд Фур'є встановлюється як ряд синусів.

-Комплексне позначення серії Фур'є

Якщо у нас є функція f (t), яка відповідає всім вимогам ряду Фур'є, її можна позначити в інтервалі, використовуючи її складні позначення:

Приклади

Щодо розрахунку фундаментального рішення, представлені наступні приклади:

З іншого боку, наведені нижче приклади застосування дискретного перетворення Фур'є в області теорії сигналів:

-Проблеми ідентифікації системи Встановлено f і g

-Проблема з узгодженістю вихідного сигналу

-Проблеми з фільтруванням сигналу

Вправи

Вправа 1

Обчисліть дискретне перетворення Фур'є для наступної послідовності.

Ви можете визначити PTO x як:

X _t = {4, -j2, 0, j2} при k = 0, 1, 2, 3

Вправа 2

Ми хочемо визначити спектральний сигнал, визначений виразом x (t) = e ^-t, за допомогою цифрового алгоритму . Де максимальний частотний запитуючий коефіцієнт f _m = 1 Гц. Гармоніка відповідає f = 0,3 Гц. Похибка обмежена менше 5%. Обчисліть f _s , D і N.

Враховуючи теорему вибірки f _s = 2f _m = 2 Гц

Вибирається частотна роздільна здатність f ₀ = 0,1 Гц, з якої отримуємо D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Гц - частота, відповідна індексу k = 3, де N = 3 × 8 = 24 вибірки. Позначаючи, що f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

Оскільки мета полягає в тому, щоб отримати мінімально можливе значення для N, наступні значення можуть розглядатися як рішення:

f ₀ = 0,3 Гц

D = 1 / 0,3 = 3,33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Список літератури

1. Освоєння дискретного перетворення Фур'є в одній, двох або кількох розмірах: підводні камені та артефакти. Ісаак Амідрор. Springer Science & Business Media, 19 липня. 2013 рік
2. DFT: Посібник користувача для дискретної трансформації Фур'є. Вільям Л. Бріггс, Ван Емден Хенсон. СІАМ, 1 січня. дев'ятнадцять дев'яносто п'ять
3. Цифрова обробка сигналів: теорія та практика. Д. Сундарараджан. World Scientific, 2003
4. Перетворення та швидкі алгоритми для аналізу сигналів та подань. Гоо Бі, Йонгонг Цзен. Springer Science & Business Media, 6 грудня. 2012 рік
5. Дискретні та безперервні перетворення Фур'є: аналіз, застосування та швидкі алгоритми. Елеонора Чу. CRC Press, 19 березня. 2008 рік