- Триноги
- Ідеальний квадратний тричлен
- Характеристика триномів 2 класу
- Ідеальний квадрат
- Розв’язуюча формула
- Геометрична інтерпретація
- Триноміальний факторинг
- Приклади
- Приклад 1
- Приклад 2
- Список літератури
Перш ніж навчитися розв’язувати тричлен виду x ^ 2 + bx + c , і навіть до того, як пізнати поняття тричлена, важливо знати два істотні поняття; а саме поняття одночлена та многочлена. Мономіал - це вираз типу a * x n , де a - раціональне число, n - натуральне число, а x - змінна.
Поліном - це лінійна комбінація одночленів вигляду a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 2 * x 2 + a 1 * x + a 0 , де кожен a i , з i = 0,…, n - раціональне число, n - натуральне число, a_n - ненульове число. У цьому випадку ступінь многочлена називається n.
Поліном, утворений сумою лише двох доданків (двох одночленів) різних ступенів, відомий як двочлен.
Триноги
Поліном, утворений сумою лише трьох доданків (трьох одночленів) різного ступеня, відомий як тричлен. Нижче наведено приклади тричленів:
- х 3 + х 2 + 5х
- 2x 4 -x 3 +5
- х 2 + 6х + 3
Існує кілька типів тричленів. З них виділяється ідеальний квадратний тричлен.
Ідеальний квадратний тричлен
Ідеальний квадратний тричлен - результат квадратичного двочлена. Наприклад:
- (3x-2) 2 = 9x 2 -12x + 4
- (2x 3 + y) 2 = 4x 6 + 4x 3 y + y 2
- (4x 2 -2y 4 ) 2 = 16x 4 -16x 2 y 4 + 4y 8
- 1 / 16x 2 y 8 -1 / 2xy 4 z + z 2 = (1 / 4xy 4 ) 2 -2 (1 / 4xy 4 ) z + z 2 = (1 / 4xy 4 -z) 2
Характеристика триномів 2 класу
Ідеальний квадрат
Взагалі тричлен виду ax 2 + bx + c є ідеальним квадратом, якщо його дискримінант дорівнює нулю; тобто, якщо b 2 -4ac = 0, оскільки в цьому випадку він буде мати один корінь і він може бути виражений у вигляді a (xd) 2 = (√a (xd)) 2 , де d - уже згаданий корінь.
Корінь многочлена - це число, в якому многочлен стає нульовим; Іншими словами, число, яке при заміні на x у поліномічному виразі призводить до нуля.
Розв’язуюча формула
Загальна формула для обчислення коренів многочлена другого ступеня виду ax 2 + bx + c - це роздільна формула, в якій зазначено, що ці корені задаються формулою (–b ± √ (b 2 -4ac)) / 2a, де b 2 -4ac відомий як дискримінант і зазвичай позначається ∆. З цієї формули випливає, що ось 2 + bx + c має:
- Два різних реальних кореня, якщо ∆> 0.
- Єдиний реальний корінь, якщо ∆ = 0.
- Він не має реального кореня, якщо ∆ <0.
Далі буде розглянуто лише тричлени у формі x 2 + bx + c, де чітко c повинно бути число, відмінне від нуля (інакше це було б двочлен). Ці типи триномів мають певні переваги при факторингу та роботі з ними.
Геометрична інтерпретація
Геометрично тричлен х 2 + BX + C являє собою параболу , яка відкривається вгору і має вершину в точці (-b / 2, -b 2 /4 + с) декартовой площині , що х 2 + BX + з = ( х + б / 2) 2 -b 2 /4 + гр.
Ця парабола розрізає вісь Y у точці (0, с) та вісь X у точках (d 1 , 0) та (d 2 , 0); то d 1 і d 2 - корені тричлена. Може статися, що тричлен має єдиний корінь d, в цьому випадку єдиним зрізом з віссю X був би (d, 0).
Також може трапитися так, що тричлен не має справжнього кореня, і в цьому випадку він би не вирізав вісь X в будь-якій точці.
Наприклад, x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 -9 + 9 = (x + 3) 2 - парабола з вершиною при (-3,0), яка перетинає вісь Y при (0, 9) і до осі X при (-3,0).
Триноміальний факторинг
Дуже корисним інструментом при роботі з поліномами є факторинг, який полягає у вираженні многочлена як продукту факторів. Загалом, якщо дано тричлен виду x 2 + bx + c, якщо він має два різних кореня d 1 і d 2 , він може враховуватися як (xd 1 ) (xd 2 ).
Якщо він має один корінь d, він може враховуватися як (xd) (xd) = (xd) 2 , а якщо у нього немає справжнього кореня, він залишається тим самим; в цьому випадку вона не визнає факторизацію як продукт інших факторів, крім себе.
Це означає, що, знаючи коріння тричлена у вже встановленому вигляді, його факторизація може бути легко виражена, і як уже було сказано вище, ці корені завжди можна визначити, використовуючи роздільну здатність.
Однак є значна кількість цього виду тричленів, які можна врахувати, попередньо не пізнавши їх коріння, що спрощує роботу.
Коріння можна визначити безпосередньо з факторизації, не використовуючи формулу роздільної здатності; це многочлени виду x 2 + (a + b) x + ab. У цьому випадку ми маємо:
x 2 + (a + b) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).
З цього легко видно, що коріння –a і –b.
Іншими словами, давши тричлен x 2 + bx + c, якщо є два числа u і v такі, що c = uv і b = u + v, то x 2 + bx + c = (x + u) (x + v).
Тобто, враховуючи тричлен x 2 + bx + c, спочатку перевіряється, чи є два числа такі, що помножені вони дають незалежний доданок (c) і додані (або віднімаються, залежно від випадку), вони дають додаток, що супроводжує x ( б).
Не для всіх тричленів таким способом можна застосувати цей метод; в яких це неможливо, використовується резолюція і застосовується вищезазначене.
Приклади
Приклад 1
Щоб розподілити наступний тричлен x 2 + 3x + 2, виконайте наступне:
Ви повинні знайти два числа такі, що при додаванні їх результат дорівнює 3, а при множенні їх результат - 2.
Після проведення перевірки можна зробити висновок, що шукані числа: 2 і 1. Отже, x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).
Приклад 2
Для множення тричлена x 2 -5x + 6 шукаємо два числа, сума яких -5, а їх добуток 6. Числа, які задовольняють цим двом умовам, - -3 і -2. Тому факторизація даного тричлена дорівнює x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2).
Список літератури
- Фуентес, А. (2016). ОСНОВНА МАТ. Вступ до обчислення. Lulu.com.
- Гаро, М. (2014). Математика: квадратичні рівняння: Як розв’язати квадратичне рівняння. Марілù Гаро.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Математика для менеджменту та економіки. Пірсон освіта.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Поріг.
- Preciado, CT (2005). Курс математики 3-й. Редакція Progreso.
- Рок, НМ (2006). Алгебра я проста! Так легко. Team Rock Press.
- Салліван, Дж. (2006). Алгебра та тригонометрія. Пірсон освіта.