ІСТОРИЧНІ ПЕРЕДУМОВИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ - МАТЕМАТИКА - 2025

В історичні передумови аналітичної геометрії повернутися в сімнадцятому столітті, коли П'єр де Ферма і Декарт визначив його основну ідею. Його винахід відбувся після модернізації алгебри та алгебраїчної позначення Франсуа Віте.

Це поле має свої основи в Стародавній Греції, особливо у працях Аполлонія та Евкліда, які мали великий вплив у цій галузі математики.

Основна ідея аналітичної геометрії полягає в тому, що співвідношення між двома змінними, таким, що одна є функцією другої, визначає криву.

Цю ідею вперше розробив П'єр де Ферма. Завдяки цій важливій структурі Ісаак Ньютон та Готфрід Лейбніц змогли розробити обчислення.

Французький філософ Декарт також виявив алгебраїчний підхід до геометрії, мабуть, сам. Робота Декарта з геометрії з’являється у його знаменитій книзі «Дискурс про метод».

У цій книзі вказується, що геометричні побудови компаса та прямого краю включають додавання, віднімання, множення та квадратні корені.

Аналітична геометрія являє собою об'єднання двох важливих традицій математики: геометрії як вивчення форми, а також арифметики та алгебри, які мають відношення до кількості чи чисел. Тому аналітична геометрія - це вивчення поля геометрії з використанням систем координат.

Історія

Передумови аналітичної геометрії

Зв'язок між геометрією та алгеброю розвивався протягом усієї історії математики, хоча геометрія досягла більш ранньої стадії зрілості.

Наприклад, грецький математик Евклід зміг організувати багато результатів у своїй класичній книзі «Елементи».

Але саме давньогрецький Аполлоній Перський передбачив розвиток аналітичної геометрії у своїй книзі «Коніки». Він визначав коніку як перетину між конусом і площиною.

Використовуючи результати Евкліда на подібних трикутниках і сектантах кіл, він виявив залежність, задану відстаніми від будь-якої точки "Р" конічної до двох перпендикулярних прямих, головної осі конічного та дотичної в кінцевій точці осі. Аполоній використовував це відношення для виведення основних властивостей коніків.

Подальший розвиток систем координат у математиці з'явився лише після дозрівання алгебри завдяки ісламським та індійським математикам.

До епохи Відродження геометрія використовувалася для обґрунтування розв’язання алгебраїчних задач, але алгебра могла сприяти геометрії.

Ця ситуація змінилася б із прийняттям зручного позначення алгебраїчних відносин та розробки концепції математичної функції, яка була тепер можливою.

XVI століття

Наприкінці 16 століття французький математик Франсуа Віте ввів перше систематичне алгебраїчне позначення, використовуючи букви для позначення числових величин, як відомих, так і невідомих.

Він також розробив потужні загальні методи роботи алгебраїчних виразів та розв’язування алгебраїчних рівнянь.

Завдяки цьому математики не були повністю залежні від геометричних фігур та геометричної інтуїції для вирішення задач.

Навіть деякі математики почали відмовлятися від стандартного геометричного способу мислення, згідно з яким лінійні змінні довжин і квадратів відповідають областям, а кубічні змінні відповідають обсягам.

Першими зробили цей крок філософ і математик Рене Декарт та юрист і математик П'єр де Ферма.

Фундамент аналітичної геометрії

Декарт і Фермат самостійно засновували аналітичну геометрію протягом 1630-х років, приймаючи алгебру Віте для вивчення локусу.

Ці математики зрозуміли, що алгебра є потужним інструментом геометрії і винайшли те, що сьогодні відомо як аналітична геометрія.

Один з проривів, який вони зробили, - перевершити Віете, використовуючи букви, щоб зобразити відстані, які є змінними, а не фіксованими.

Декарт використав рівняння для вивчення геометрично визначених кривих і наголосив на необхідності розгляду загальних алгебраїчно-графічних кривих поліноміальних рівнянь у градусах "х" та "у".

Зі свого боку Ферма підкреслював, що будь-яке відношення між координатами "х" і "у" визначає криву.

Використовуючи ці ідеї, він перебудував висловлювання Аполлонія на алгебраїчних термінах і відновив частину втраченої роботи.

Ферма вказував, що будь-яке квадратичне рівняння в "х" і "у" може бути розміщене в стандартній формі одного з конічних перерізів. Незважаючи на це, Фермат ніколи не публікував свою роботу з цього питання.

Завдяки їхнім досягненням, що Архімед міг вирішити лише з великими труднощами, і для поодиноких випадків Фермат і Декарт могли вирішити швидко і для великої кількості кривих (тепер відомих як алгебраїчні криві).

Але його ідеї отримали лише загальне визнання завдяки зусиллям інших математиків другої половини 17 століття.

Математики Франс ван Шоутен, Флорімон де Боун та Йохан де Віт допомогли розширити роботу Декарта і додали важливий додатковий матеріал.

Вплив

В Англії Джон Уолліс популяризував аналітичну геометрію. Він використовував рівняння для визначення коніків та отримання їх властивостей. Хоча він вільно використовував негативні координати, саме Ісаак Ньютон використав дві косі осі, щоб розділити площину на чотири квадранти.

Ньютон та німецький Готфрід Лейбніц здійснили революцію в математиці наприкінці 17 століття, незалежно продемонструвавши силу числення.

Ньютон продемонстрував важливість аналітичних методів у геометрії та їх роль в обчисленні, коли він стверджував, що будь-який куб (або будь-яка алгебраїчна крива третього ступеня) має три-чотири стандартних рівняння для відповідних осей координат. За допомогою самого Ньютона шотландський математик Джон Стірлінг довів це в 1717 році.

Аналітична геометрія трьох і більше вимірів

Хоча і Декарт, і Фермат запропонували використовувати три координати для дослідження кривих і поверхонь у просторі, тривимірна аналітична геометрія розвивалася повільно до 1730 року.

Математики Ейлер, Герман і Клер створили загальні рівняння для циліндрів, конусів і обертових поверхонь.

Наприклад, Ейлер використовував рівняння для перекладів у просторі, щоб перетворити загальну квадратичну поверхню так, щоб її основні осі збігалися з осями координат.

Ейлер, Джозеф-Луї Лагранж і Гаспард Монж зробили аналітичну геометрію незалежною від синтетичної (неаналітичної) геометрії.

Список літератури

1. Розвиток аналітичної геометрії (2001). Відновлено з encyclopedia.com
2. Історія аналітичної геометрії (2015). Відновлено з maa.org
3. Аналіз (Математика). Відновлено з britannica.com
4. Аналітична геометрія. Відновлено з britannica.com
5. Декарт і народження аналітичної геометрії. Відновлено з sciencedirect.com