ЦИЛІНДРИЧНІ КООРДИНАТИ: СИСТЕМА, ЗМІНА ТА ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Ці циліндричні координати використовуються для визначення місця розташування точок в тривимірному просторі і складається з радіальної координати ρ, φ азимутальной координати і г координати висоти.

Точка Р, розташована в просторі, проектується ортогонально на площину XY, створюючи точку P 'у цій площині. Відстань від початку від точки до точки P 'визначає координату ρ, тоді як кут, який вісь X робить із променем OP', визначає координату φ. Нарешті, координата z є ортогональною проекцією точки P на вісь Z. (див. рисунок 1).

Малюнок 1. Точка Р циліндричних координат (ρ, φ, z). (Власна розробка)

Радіальна координата ρ завжди позитивна, азимутальна координата φ змінюється від нуля радіанів до двох пі радіанів, тоді як z координата може приймати будь-яке дійсне значення:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Зміна координат

Отримати декартові координати (x, y, z) точки P порівняно легко з її циліндричних координат (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Але також можна отримати полярні координати (ρ, φ, z), починаючи з знання декартових координат (x, y, z) точки P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = арктан (у / х)

z = z

Векторна база в циліндричних координатах

Визначено основу циліндричних одиничних векторів Uρ , Uφ , Uz .

Вектор Uρ дотичний до лінії φ = ctte і z = ctte (спрямований радіально назовні), вектор Uφ дотичний до прямої ρ = ctte і z = ctte і, нарешті, Uz має однаковий напрямок осі Z.

Малюнок 2. Циліндрична основа координат. (wikimedia commons)

У базі циліндричної одиниці вектор позиції r точки P записується векторіально так:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

З іншого боку, нескінченно малий зсув d r від точки P виражається так:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Аналогічно, нескінченно малий елемент об'єму dV в циліндричних координатах дорівнює:

dV = ρ dρ dφ dz

Приклади

Існує незліченна кількість прикладів використання та застосування циліндричних координат. У картографії, наприклад, використовується циліндрична проекція, заснована саме на цих координатах. Є більше прикладів:

Приклад 1

Циліндричні координати мають застосування в техніці. Як приклад ми маємо систему CHS (Cylinder-Head-Sector) системи розташування даних на жорсткому диску, яка фактично складається з декількох дисків:

- Циліндр або колія відповідають координаті ρ.

- Сектор відповідає положенню φ диска, який обертається з великою кутовою швидкістю.

- Голова відповідає z-положенню головки зчитування на відповідному диску.

Кожен байт інформації має точну адресу в циліндричних координатах (C, S, H).

Малюнок 2. Розташування інформації в циліндричних координатах на системі жорсткого диска. (wikimedia commons)

Приклад 2

Будівельні крани фіксують положення вантажу в циліндричних координатах. Горизонтальне положення визначається відстанню до осі або стрілки крана ρ та його кутовим положенням φ щодо деякої опорної осі. Вертикальне положення вантажу визначається координатою z висоти.

Малюнок 3. Положення навантаження на будівельному крані можна легко виразити циліндричними координатами. (зображення pixabay - анотації Р. Переса)

Розв’язані вправи

Вправа 1

Існують точки P1 з циліндричними координатами (3, 120º, -4) і точка P2 з циліндричними координатами (2, 90º, 5). Знайдіть відстань Евкліда між цими двома точками.

Рішення: Спочатку ми переходимо до пошуку декартових координат кожної точки за формулою, поданою вище.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Евклідова відстань між P1 і P2 становить:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ² ) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Вправа 2

Точка Р має декартові координати (-3, 4, 2). Знайдіть відповідні циліндричні координати.

Рішення: Ми переходимо до пошуку циліндричних координат, використовуючи наведені вище співвідношення:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = арктан (у / х) = арктан (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Слід пам’ятати, що функція арктангенту багатозначна з періодичністю 180º. Також кут φ повинен належати другому квадрату, оскільки координати x і y точки P знаходяться в цьому квадранті. З цієї причини до результату φ додано 180º.

Вправа 3

Виразіть в циліндричних координатах і декартових координатах поверхню циліндра з радіусом 2 і вісь якої збігається з віссю Z.

Рішення: Мається на увазі, що циліндр має нескінченне розширення в напрямку z, тому рівняння зазначеної поверхні в циліндричних координатах дорівнює:

ρ = 2

Для отримання декартового рівняння циліндричної поверхні береться квадрат обох членів попереднього рівняння:

ρ ² = 4

Помножимо обох членів наведеної рівності на 1 і застосуємо фундаментальну тригонометричну тотожність (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Дужки розробляються для отримання:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Ми пам'ятаємо, що перші круглі дужки (ρ sin (φ)) - це координата y точки в полярних координатах, тоді як дужки (ρ cos (φ)) являють собою координату x, так що у нас є рівняння циліндра в координатах Декартовий:

y ² + x ² = 2 ²

Наведене рівняння не слід плутати з окружністю в площині XY, оскільки в цьому випадку воно виглядатиме так: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Вправа 4

Циліндр радіусом R = 1 м і висотою Н = 1м має його масу, розподілену радіально, згідно з наступним рівнянням D (ρ) = C (1 - ρ / R), де C є величиною величини C = 1 кг / м ³ . Знайдіть загальну масу циліндра в кілограмах.

Рішення: Перше, що потрібно зрозуміти, що функція D (ρ) являє собою об'ємну густину маси, і що масова щільність розподіляється в циліндричних оболонках зменшення щільності від центру до периферії. Нескінченно малий елемент об’єму відповідно до симетрії задачі:

dV = ρ dρ 2π H

Отже, нескінченна мала маса циліндричної оболонки буде:

dM = D (ρ) dV

Тому загальна маса циліндра буде виражена наступним певним інтегралом:

M = ∫ _або ^R D (ρ) dV = ∫ _або ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _або ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Розв’язання зазначеного інтеграла отримати не складно, його результат:

∫ _або ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Включивши цей результат у вираз маси циліндра, отримаємо:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1м * 1кг / м ³ * 1м ² = π / 3 кг ≈ 1,05 кг

Список літератури

1. Арфкен Г і Вебер Х. (2012). Математичні методи для фізиків. Вичерпний посібник. 7-е видання. Академічна преса. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Розрахунок куб. Розв’язані задачі циліндричних і сферичних координат. Відновлено з: Calculo.cc
3. Вайштайн, Ерік В. "Циліндричні координати". Від MathWorld - веб-сторінка Wolfram. Відновлено з: mathworld.wolfram.com
4. Вікіпедія. Циліндрична система координат. Відновлено з: en.wikipedia.com
5. Вікіпедія. Векторні поля в циліндричних і сферичних координатах. Відновлено з: en.wikipedia.com