- Походження прямокутних координат
- Декартовий літак
- Відстань між двома точками
- Аналітичний вираз рядка
- Приклади
- Приклад 1
- Приклад 2
- Розв’язані вправи
- Вправа 1
- Вправа 2
- Список літератури
Ці прямокутні координати або декартовой є ті , які отримані на ортогонально виступаючими з трьох декартових осей X, Y, Z , точка розташована в трьох - вимірному просторі.
Декартові осі - це взаємно орієнтовані лінії, перпендикулярні одна одній. У декартовій системі координат кожній точці простору присвоюються три дійсних числа, які є його прямокутними координатами.
Рисунок 1. Прямокутні координати точки P (Власна розробка)
Площина - це підпростір тривимірного простору. У разі розгляду точок на площині, тоді досить вибрати пару перпендикулярних осей X, Y як декартову систему. Тоді кожній точці на площині присвоюється два дійсних числа, які є її прямокутними координатами.
Походження прямокутних координат
Прямокутні координати спочатку були запропоновані французьким математиком Рене Декарт (1596 та 1650), тому їх називають декартовими.
З цією ідеєю Декарта точки площини та простір присвоюються числам, щоб геометричні фігури мали пов'язане алгебраїчне рівняння і класичні геометричні теореми можна було довести алгебраїчно. З декартовими координатами народжується аналітична геометрія.
Декартовий літак
Якщо в площині обрано дві перпендикулярні прямі, які перетинаються в точці O; і якщо на додаток до кожного рядка призначаються напрямок і числова шкала між послідовними рівновіддаленими точками, то існує декартова система або площина, в якій кожна точка площини пов'язана з упорядкованою парою з двох реальних чисел, які є їх проекціями відповідно на осі X і Y.
Точки А = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) і D = (3, -3) представлені в декартовій площині, як показано нижче:
Малюнок 2. Точки в декартовій площині. (Власна розробка)
Зауважимо, що дві осі X і Y ділять площину на чотири сектори, які називаються квадрантами. Точка А знаходиться в першому квадранті, точка В - у другому квадранті, точка С - у третьому квадранті, а точка D - у четвертому квадранті.
Відстань між двома точками
Відстань між двома точками А і В на декартовій площині - це довжина відрізка, який приєднується до них. Ця відстань може бути аналітично обчислена так:
d (A, B) = √ (Bx - Axe) ^ 2 + (За - Ay) ^ 2)
Вищевказана формула отримується шляхом застосування теореми Піфагора.
Застосовуючи цю формулу до точок A, B на рисунку 2, маємо:
d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)
Тобто, d (A, B) = 5,10 одиниць. Зауважте, що відстань була отримана без необхідності вимірювати лінійкою, дотримувалася повністю алгебраїчна процедура.
Аналітичний вираз рядка
Прямокутні координати дозволяють аналітично зображувати основні геометричні об'єкти, такі як точка і лінія. Дві точки A і B визначають один рядок. Нахил лінії визначається як коефіцієнт між різницею координат Y точки B мінус A, поділений на різницю X координат точки B мінус A:
нахил = (За - Ай) / (Bx - Axe)
Будь-яка точка P координат (x, y), що належить прямій (AB), повинна мати однаковий нахил:
нахил = (у - Ай) / (х - ось)
Рівняння, яке отримується через рівність схилів, є аналітичним або алгебраїчним поданням лінії, що проходить через точки А і В:
(y - Ay) / (x - Axe) = (By - Ay) / (Bx - Axe).
Якщо візьмемо для A і B прямокутні координати фігури 2, маємо:
(у - 2) / (х - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)
(у - 2) / (х - 3) = -⅕
У цьому конкретному випадку ми маємо лінію з від’ємним нахилом -⅕, що означає, що розміщуючи на точці на лінії та збільшуючи x-координату на одну одиницю, y-координата зменшується на 0,2 одиниці.
Найпоширеніший спосіб записати рівняння прямої в площині - це координата y, очищена як функція змінної x:
y = - (1/5) x + 13/5
Приклади
Приклад 1
Отримайте аналітичними методами відстань між точками C і A, що є прямокутними координатами C = (-2, -3) і координатами A = (3,2).
Формула евклідової відстані між цими двома точками записується так:
d (A, C) = √ ((Cx - Axe) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)
Підставляючи відповідні прямокутні координати, ми маємо:
d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07
Приклад 2
Отримайте рівняння прямої, яка проходить через точку С координат (-2, -3) та точку Р координат (2, 0).
Спочатку виходить нахил лінії CP:
нахил = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾
Будь-яка точка Q загальних прямокутних координат (x, y), що належить лінії CP, повинна мати однаковий нахил:
нахил = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)
Іншими словами, рівняння лінії CP є:
(y +3) / (x +2) = ¾
Альтернативний спосіб записати рівняння рядка CP - це рішення для y:
y = ¾ x - 3/2
Розв’язані вправи
Вправа 1
Отримайте прямокутні координати точки перетину між прямими y = - (1/5) x + 13/5 та прямою y = ¾ x - 3/2.
Рішення: За визначенням точки перетину двох прямих ділять однакові прямокутні координати. Тому y-координати в точці перетину для обох прямих однакові:
- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2
що призводить до наступного виразу:
(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2
Розв’язуючи отриману суму дробів:
19/20 х = 41/10
Розв’язування для x:
x = 82/19 = 4,32
Щоб отримати значення y перетину, отримане значення x заміщено в будь-якому з рядків:
y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74
Це означає, що дані лінії перетинаються в точці I координат I = (4.32, 1.74).
Вправа 2
Отримайте рівняння окружності, яка проходить через точку R прямокутних координат (3, 4) і має центр у початку координат.
Рішення: радіус R - відстань від точки R до початку координат O (0, 0).
d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
Тобто це коло радіуса 5, центрове в (0,0).
Будь-яка точка P (x, y) на окружності повинна мати однакову відстань 5 від центру (0, 0), щоб можна було записати:
d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Тобто:
√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Щоб усунути квадратний корінь, обидва члени рівності мають квадрат, отримуючи:
x ^ 2 + y ^ 2 = 25
Яке рівняння окружності.
Цей приклад ілюструє потужність прямокутної системи координат, яка дозволяє визначати геометричні об'єкти, наприклад окружність, без необхідності використання паперу, олівця та циркуля. Запитувана окружність визначається виключно алгебраїчними методами.
Список літератури
- Арфкен Г і Вебер Х. (2012). Математичні методи для фізиків. Вичерпний посібник. 7-е видання. Академічна преса. ISBN 978-0-12-384654-9
- Розрахунок куб. Розв’язані задачі прямокутних координат. Відновлено з: Calculo.cc
- Вайштайн, Ерік В. "Декартові координати". З Інтернету MathWorld-A Wolfram. Відновлено з: mathworld.wolfram.com
- Вікіпедія. Декартова система координат. Відновлено з: en.wikipedia.com