КРИТЕРІЇ РОЗДІЛЬНОСТІ: ЩО ВОНИ ТАКЕ, ДЛЯ ЧОГО ВОНИ І ПРАВИЛА - МАТЕМАТИКА - 2025

У критерії подільності теоретичні аргументи , використовувані для визначення , є чи ціле число ділиться на інше ціле число. Оскільки поділки повинні бути точними, цей критерій застосовується лише до множини цілих чисел Z. Наприклад, цифра 123 ділиться на три, відповідно до критеріїв поділу 3, які будуть визначені пізніше.

Кажуть, що поділ є точним, якщо його залишок дорівнює нулю, решта - це диференціальне значення, отримане в традиційному методі ручного поділу. Якщо решта відрізняється від нуля, поділ є неточним, і отриману цифру необхідно виразити десятковими значеннями.

Джерело: Pexels.com

Для чого застосовуються критерії поділу?

Найбільша його корисність встановлюється до традиційного ручного ділення, де необхідно знати, чи буде отримано ціле число після виконання зазначеного ділення.

Вони поширені для отримання коренів методом Руффіні та інших процедур, пов'язаних з факторингом. Це популярний інструмент для студентів, яким з педагогічних міркувань ще не дозволяється користуватися калькуляторами чи цифровими інструментами обчислення.

Найпоширеніші правила

Для багатьох цілих чисел є критерії поділу, які в основному використовуються для роботи з простими числами. Однак вони також можуть бути застосовані з іншими типами чисел. Деякі з цих критеріїв визначені нижче.

Критерій подільності одного "1"

Не існує конкретного критерію подільності для номер один. Потрібно лише встановити, що кожне ціле число ділиться на одне ціле. Це тому, що кожне число, помножене на одне, залишається незмінним.

Критерій поділу двох "2"

Зазначено, що число ділиться на два, якщо його остання цифра або число, що відноситься до одиниць, дорівнює нулю або парному.

Наступні приклади:

234: Ділиться на 2, оскільки закінчується на 4, що є рівною фігурою.

2035: Не ділиться на 2, оскільки 5 не є рівним.

1200: Ділиться на 2, оскільки його остання цифра дорівнює нулю.

Критерій подільності трьох "3"

Цифра ділиться на три, якщо сума її окремих цифр дорівнює кратній три.

123: Ділиться на три, оскільки сума його доданків 1 + 2 + 3 = 6 = 3 х 2

451: Не ділиться на 3, що перевіряється, перевіряючи, що 4 + 5 +1 = 10, це не кратне трійці.

Критерій подільності чотирьох "4"

Щоб визначити, чи є число кратним чотирьом, вам потрібно переконатися, що його дві останні цифри - 00 або кратні чотири.

3822: Спостерігаючи останні дві цифри "22", докладно показано, що вони не кратні чотирьом, тому цифра не ділиться на 4.

644: Ми знаємо, що 44 = 4 х 11, тому 644 ділиться на чотири.

3200: Оскільки його останні цифри - 00, робиться висновок, що цифра ділиться на чотири.

Критерій подільності п'яти "5"

Досить інтуїтивно зрозуміло, що критерій подільності на п’ять полягає в тому, що його остання цифра дорівнює п’яти або нулю. Оскільки в таблиці п'яти спостерігається, що всі результати закінчуються одним із цих двох чисел.

350, 155 та 1605 відповідно до цього критерію цифри поділяються на п'ять.

Критерій роздільності шести "6"

Щоб число ділилося на шість, повинно бути правдою, що воно ділиться одночасно між 2 і 3. Це має сенс, оскільки розкладання на 6 дорівнює 2 × 3.

Щоб перевірити подільність на шість, критерії 2 і 3 аналізуються окремо.

468: Закінчивши парне число, воно відповідає критерію поділу на 2. Окремо додаючи цифри, що складають фігуру, отримуємо 4 + 6 + 8 = 18 = 3 х 6. Критерій подільності дорівнює 3. Тому 468 ділиться на шість.

622: Його парне число, що відповідає одиницям, вказує на те, що воно ділиться на 2. Але при додаванні його цифр окремо 6 + 2 + 2 = 10, що не є кратним 3. Таким чином перевіряється, що 622 не ділиться на шість .

Критерій подільності семи "7"

Для цього критерію повне число необхідно розділити на 2 частини; одиниці та залишок числа. Критерієм поділу на сім буде те, що віднімання між числом без одиниць і подвоєним одиницями дорівнює нулю або кратно семи.

Це найкраще зрозуміти на прикладах.

133: Число без них 13 і вдвічі більше 3 × 2 = 6. Таким чином переходимо до віднімання. 13 - 6 = 7 = 7 × 1. Це гарантує, що 133 ділиться на 7.

8435: Виконується віднімання 843 - 10 = 833. Відзначаючи, що 833 ще занадто великий, щоб визначити подільність, процес застосовується ще раз. 83 - 6 = 77 = 7 х 11. Отже, 8435 ділиться на сім.

Вісім критерій поділу "8"

Повинно бути правдою, що останні три цифри числа є 000 або кратні 8.

3456 і 73000 поділяються на вісім.

Критерій подільності дев'яти "9"

Аналогічно критерію поділу на три, слід перевірити, що сума окремих його цифр дорівнює кратній дев'яти.

3438: Коли сума складена, отримуємо 3 + 4 + 3 + 8 = 18 = 9 х 2. Таким чином, перевіряється, що 3438 ділиться на дев'ять.

1451: Додавання цифр окремо, 1 + 4 + 5 + 1 = 11. Оскільки це не кратне дев'яти, перевіряється, що 1451 не ділиться на дев'ять.

Критерій подільності десять "10"

Тільки числа, що закінчуються нулем, діляться на десять.

20, 1000 і 2030 поділяються на десять.

Критерій подільності одинадцяти "11"

Це одне з найскладніших, однак працює з метою гарантування простої перевірки. Щоб цифра ділилася на одинадцять, необхідно переконатися, що сума цифр у парному положенні, мінус, сума цифр у непарному положенні дорівнює нулю або кратній одинадцяти.

39.369: сума парних цифр становитиме 9 + 6 = 15. А сума фігур у непарному положенні дорівнює 3 + 3 + 9 = 15. Таким чином, віднімаючи 15 - 15 = 0, перевіряється, що 39,369 ділиться на одинадцять.

Список літератури

1. Критерії подільності. Н. Н. Воробйов. Університет Чикаго Прес, 1980
2. Теорія елементарних чисел у дев'яти глав. Джеймс Дж. Таттерсалл. Cambridge University Press, 14 жовтня 1999 рік
3. Історія теорії чисел: подільність і первинність. Леонард Юджин Діксон. Chelsea Pub. Co., 1971
4. Поділ за двома повноваженнями певних квадратних чисел класу. Пітер Стівенхаген. Амстердамський університет, кафедра математики та інформатики, 1991
5. Елементарна арифметика. Енцо Р. Поган. Генеральний секретаріат Організації американських держав, Регіональна програма науково-технічного розвитку, 1985 р