ЕВКЛІДОВА ГЕОМЕТРІЯ: ІСТОРІЯ, ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

В геометрії Евкліда відповідає вивченню властивостей геометричних просторів , де задоволених Аксіоми Евкліда. Хоча цей термін іноді використовується для покриття геометрій, які мають більш високі розміри з подібними властивостями, він, як правило, є синонімом класичної геометрії або площини.

У III ст. К. Евклід та його учні написали Елементи - твір, який охоплював математичні знання того часу, наділені логічно-дедуктивною структурою. З того часу геометрія стала наукою, спочатку вирішуючи класичні проблеми і перетворилася на формуючу науку, яка допомагає розуму.

Історія

Щоб поговорити про історію евклідової геометрії, важливо почати з Евкліда Олександрійського та Елементів.

Коли Єгипет залишився в руках Птолемея I, після смерті Олександра Великого він розпочав свій проект у школі в Олександрії.

Серед мудреців, які викладали в школі, був Евклід. Припускається, що його народження датується приблизно 325 р. До н. C. та його смерть 265 a. C. Ми можемо з упевненістю знати, що він ходив до школи Платона.

Понад тридцять років Евклід викладав в Олександрії, будуючи його відомі елементи: він почав писати вичерпний опис математики свого часу. Вчення Евкліда породило відмінних учнів, таких як Архімед та Аполлоній Перський.

Евклід відповідав за структурування розрізнених відкриттів стародавніх греків у стихіях, але на відміну від своїх попередників він не обмежує себе у підтвердженні того, що теорема правдива; Евклід пропонує демонстрацію.

Елементи - збірник із тринадцяти книг. Після Біблії це найбільше видана книга, що має понад тисячу видань.

Евклідові елементи

Елементи є шедевром Евкліда в області геометрії і пропонує остаточну обробку двовимірної (площинної) та тривимірної (космічної) геометрії, що є походженням того, що ми тепер знаємо як геометрію Евкліда. .

Основні поняття

Елементи складаються з визначень, загальних понять і постулатів (або аксіом) з подальшими теоремами, конструкціями та доказами.

- Справа в тому, що не має частин.

- Лінія - це довжина, яка не має ширини.

- Пряма лінія - це однакова, що лежить однаково по відношенню до точок, які є в ній.

- Якщо дві лінії відрізані так, що сусідні кути рівні, кути називаються прямими, а лінії називаються перпендикулярними.

- Паралельні лінії - це ті, які, перебуваючи в одній площині, ніколи не перетинаються.

Після цих та інших визначень Евклід представляє нам список із п’яти постулатів та п'яти понять.

Поширені поняття

- Дві речі, які дорівнюють третині, рівні між собою.

- Якщо до одних і тих же речей додаються ті самі речі, результати однакові.

- Якщо з рівних речей відняти рівні речі, результати рівні.

- Речі, які відповідають один одному, рівні між собою.

- Загальна більша частина.

Постулати або аксіоми

- Один і єдиний рядок проходить через дві різні точки.

- Прямі лінії можна продовжувати нескінченно.

- Ви можете намалювати коло з будь-яким центром та будь-яким радіусом.

- Усі прямі кути рівні.

- Якщо пряма перетинає дві прямі, щоб внутрішні кути однієї сторони складали менше двох прямих кутів, то дві лінії будуть перетинатися на цій стороні.

Цей останній постулат відомий як паралельний постулат і був переформульований таким чином: "Для точки поза лінією можна провести одну паралель даній лінії".

Приклади

Далі деякі теореми Елементів служать для показу властивостей геометричних просторів, де виконується п’ять постулатів Евкліда; Крім того, вони проілюструють логічно-дедуктивне міркування, яке використовує цей математик.

Перший приклад

Пропозиція 1.4. (LAL)

Якщо два трикутники мають дві сторони, а кут між ними рівний, то інші сторони та інші кути рівні.

Демонстрація

Нехай ABC і A'B'C '- це два трикутники з AB = A'B', AC = A'C ', а кути BAC і B'A'C' рівні. Переведемо трикутник A'B'C 'так, щоб A'B' збігався з AB, а кут B'A'C 'збігався з кутом BAC.

Отже, лінія A'C 'збігається з лінією AC, так що C' збігається з C. Тоді за постулатом 1 лінія BC повинна збігатися з лінією B'C '. Тому два трикутники збігаються і, отже, їх кути та сторони рівні.

Другий приклад

Пропозиція 1.5. (

Припустимо, трикутник ABC має рівні сторони AB і AC.

Отже, трикутники ABD і ACD мають дві рівні сторони, а кути між ними рівні. Таким чином, за пропозицією 1.4, кути ABD і ACD рівні.

Третій приклад

Пропозиція 1.31

Ви можете побудувати лінію, паралельну лінії, заданої заданою точкою.

Будівництво

Давши пряму L та точку P, через M проведено лінію M і перетинає L. Потім провести лінію N через P, яка перетинає L. Тепер, через лінію P, яка перетинає M, проведена лінія N, утворюючи кут, рівний тому, який утворює L з М.

Ствердження

N паралельна L.

Демонстрація

Припустимо, що L і N не паралельні і перетинаються в точці A. Нехай B - точка в L за межами A. Розглянемо пряму O, яка проходить через B і P. Тоді O перетинає M під кутами, що складають менше ніж дві прямі.

Тоді на 1,5 лінія O повинна перетинати лінію L з іншого боку M, тому L і O перетинаються в двох точках, що суперечить Постулату 1. Тому L і N повинні бути паралельними.

Список літератури

1. Евклід. Елементи геометрії. Національний автономний університет Мексики
2. Евклід. Перші шість книг та одинадцята та дванадцята елементи Евкліда
3. Євгеніо Філлой Ягу. Дидактика та історія евклідової геометрії, Grupo Редакція Iberoamericano
4. К. Рибніков. Історія математики. Мир Редакція
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Плоска аналітична геометрія. Редакція Венезолана Каліфорнія