ЗАКОНИ ЕКСПОНЕНТІВ (ІЗ ПРИКЛАДАМИ ТА РОЗВ’ЯЗАНИМИ ВПРАВАМИ) - МАТЕМАТИКА - 2024

У закони експонент є ті , які відносяться до цього числа , яке вказує , скільки разів лужне число повинне бути помножене на себе. Експоненти також відомі як сили. Розширення можливостей - це математична операція, утворена базою (а), експонентом (м) і потужністю (б), що є результатом операції.

Експоненти, як правило, використовуються, коли використовуються дуже великі кількості, тому що це не що інше, як абревіатури, які представляють множення на одне число за певну кількість разів. Експоненти можуть бути як позитивними, так і негативними.

Пояснення законів показників

Як було сказано раніше, експоненти являють собою скорочену форму, яка представляє множення чисел по собі кілька разів, де показник відноситься лише до числа зліва. Наприклад:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

У цьому випадку число 2 є базовою потужністю, яка буде помножена в 3 рази, як вказує показник, розташована в правому верхньому куті основи. Існують різні способи читання виразу: 2 підняті до 3 або також 2 підняті до куба.

Експоненти також вказують, скільки разів їх можна розділити, і щоб відрізняти цю операцію від множення, експонент перед нею має знак мінус (-) (це від’ємник), що означає, що показник знаходиться в знаменнику а фракція. Наприклад:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Це не слід плутати з випадком, коли база є негативною, оскільки це буде залежати від того, чи буде показник непарним або навіть визначати, чи буде потужність позитивною чи негативною. Отже, ви повинні:

- Якщо показник рівний, потужність буде позитивною. Наприклад:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Якщо показник непарний, потужність буде негативною. Наприклад:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Існує особливий випадок, коли, якщо показник дорівнює 0, потужність дорівнює 1. Існує також можливість, що основа дорівнює 0; у такому випадку, залежно від показника, потужність буде невизначеною чи ні.

Для виконання математичних операцій із експонентами необхідно дотримуватися кількох правил або норм, які полегшують пошук рішення для цих операцій.

Перший закон: сила показника дорівнює 1

Коли показник дорівнює 1, результатом буде те саме значення бази: a ¹ = a.

Приклади

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Другий закон: сила показника дорівнює 0

Коли показник дорівнює 0, якщо основа не нульова, результат буде: a ⁰ = 1.

Приклади

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Третій закон: негативний показник

Оскільки exponte є негативним, то результат буде дробом, де потужність буде знаменником. Наприклад, якщо m додатний, то a ^-m = 1 / a ^m .

Приклади

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Четвертий закон: множення повноважень на рівну базу

Для множення потужностей, де бази дорівнюють та відрізняються від 0, залишається основа і додаються показники: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Приклади

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

П'ятий закон: розподіл повноважень з рівною базою

Для поділу потужностей, у яких основи дорівнюють та відрізняються від 0, зберігається основа, а показники віднімаються так: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Приклади

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 : ¹ .

- 6 ¹⁵ /6 ^{Жовтень} = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49 ^грудня / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

Шостий закон: множення повноважень з різною базою

Цей закон має протилежне тому, що виражається в четвертому; тобто якщо у вас різні бази, але з однаковими показниками, основи множуються і показник підтримується: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Приклади

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Інший спосіб представити цей закон - це коли множення підноситься до влади. Таким чином, експонент буде належати кожному з доданків: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Приклади

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Сьомий закон: розподіл повноважень з різною базою

Якщо у вас різні бази, але з однаковими показниками, розділіть основи і збережіть показник: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Приклади

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5,5 ⁴ .

Аналогічно, коли ділення піднесено до сили, показник буде належати кожному з доданків: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Приклади

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Є випадок, коли показник негативний. Тоді, щоб бути позитивним, значення числівника інвертується значенням знаменника таким чином:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Восьмий закон: сила влади

Коли у вас є потужність, яка піднімається до іншої сили - тобто двох експонентів одночасно - база підтримується і показники множуються: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Приклади

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Дев'ятий закон: дробовий показник

Якщо в силі є частка як експонент, це вирішується шляхом перетворення її в n-й корінь, де чисельник залишається як експонент, а знаменник представляє індекс кореня:

Приклад

Розв’язані вправи

Вправа 1

Обчисліть операції між потужностями, які мають різні бази:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Рішення

Застосовуючи правила експонентів, основи множать у чисельнику, а експонент підтримується так:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Тепер, оскільки у нас однакові основи, але з різними показниками, база зберігається, а експоненти віднімаються:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Вправа 2

Обчисліть операції між повноваженнями, піднятими на іншу потужність:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Рішення

Застосовуючи закони, ви повинні:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46 656

Список літератури

1. Апонте, Г. (1998). Основи базової математики. Пірсон освіта.
2. Корбалан, Ф. (1997). Математика, застосована до повсякденного життя.
3. Хіменес, JR (2009). Математика 1 СЕП.
4. Макс Петерс, штат Вашингтон (1972). Алгебра та тригонометрія.
5. Різ, ПК (1986). Поверніть.