СКЛАДЕНІ ЧИСЛА: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ПРИКЛАДИ, ВПРАВИ - МАТЕМАТИКА - 2024

У числі з'єднань є цілими числами , які мають більше двох подільників. Якщо придивитися уважно, всі числа принаймні поділяються саме на себе і на 1. Ті, у яких є лише ці два дільники, називаються простими, а ті, у яких більше, - складовими.

Давайте подивимось на число 2, яке можна розділити лише між 1 і 2. Число 3 також має два дільники: 1 і 3. Тому вони обидва прості. Тепер давайте розглянемо число 12, яке ми можемо розділити рівно на 2, 3, 4, 6 і 12. Маючи 5 дільників, 12 є складеним числом.

Малюнок 1. Прості числа синього кольору можуть бути представлені лише одним рядком крапок, а не складеними числами червоного кольору. Джерело: Wikimedia Commons.

А що відбувається з числом 1, тим, що ділить усі інші? Ну, це не є простим, тому що у нього немає двох дільників, і він не складений, тому 1 не підпадає під жодну з цих двох категорій. Але є багато, набагато більше цифр, які це роблять.

Складені числа можна виразити як добуток простих чисел, і цей продукт, за винятком порядку факторів, є унікальним для кожного числа. Це підтверджено фундаментальною теоремою арифметики, доведеною грецьким математиком Евклідом (325-365 рр. До н. Е.).

Повернемося до числа 12, яке ми можемо висловити різними способами. Спробуємо кілька:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Форми, виділені жирним шрифтом, - це продукти простих чисел, і єдине, що змінюється - це порядок факторів, які, як ми знаємо, не змінюють продукт. Інші форми, хоч і дійсні для вираження 12, не складаються виключно з прайметів.

Приклади складених чисел

Якщо ми хочемо розкласти складене число на його прості множники, ми повинні розділити його між простими числами таким чином, щоб ділення було точним, тобто решта дорівнює 0.

Ця процедура називається простою факторизацією або канонічним розкладанням. Основні фактори можуть бути підняті до позитивних факторів.

Ми збираємося розкласти число 570, зазначивши, що воно парне і тому ділиться на 2, що є простим числом.

Ми будемо використовувати смугу, щоб відокремити число зліва від дільників праворуч. Відповідні коефіцієнти розміщуються під номером у міру їх отримання. Розкладання завершено, коли остання цифра в лівій колонці дорівнює 1:

570 │2
285 │

При діленні на 2 коефіцієнт дорівнює 285, що ділиться на 5, інше просте число, що закінчується на 5.

570 │2
285 │5
57 │

57 ділиться на 3, також просте, оскільки сума його цифр 5 + 7 = 12 кратна 3.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

Нарешті ми отримуємо 19, що є простим числом, дільники яких 19 і 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Отримавши 1, ми можемо виразити 570 таким чином:

570 = 2 х 5 х 3 х 19

І ми бачимо, що насправді це добуток 4 простих чисел.

У цьому прикладі ми починаємо ділити на 2, але такі ж коефіцієнти (в іншому порядку) були б отримані, якби ми почали, наприклад, з ділення на 5.

Малюнок 2. Складене число 42 можна також розкласти за допомогою деревоподібної діаграми. Джерело: Wikimedia Commons.

Критерії поділу

Щоб розкласти складене число на його прості коефіцієнти, необхідно його точно розділити. Критерії поділу між простими числами - це правила, які дозволяють дізнатися, коли число точно поділяється на інше, без необхідності намагатися чи доводити.

- Подільність на 2

Усі парні числа, ті, що закінчуються на 0 або парне число, діляться на 2.

- Подільність на 3

Якщо сума цифр числа кратна 3, то число також є і тому ділиться на 3.

- Подільність на 5

Числа, які закінчуються на 0 або 5, діляться на 5.

-Роздільність на 7

Число ділиться на 7, якщо при розділенні останньої цифри, множенні його на 2 і відніманні числа, що залишилося, отримане значення кратне 7.

Це правило здається дещо складнішим за попередні, але насправді це не так вже й багато, тож давайте подивимось на приклад: чи буде 98 поділятися на 7?

Давайте слідуємо інструкціям: відокремлюємо останню цифру, яка дорівнює 8, множимо її на 2, що дає 16. Число, що залишається при розділенні 8, віднімаємо 9. Віднімаємо 16 - 9 = 7. А оскільки 7 кратне себе, 98 ділиться між 7.

-Подільність на 11

Якщо суму фігур у парному положенні (2, 4, 6…) відняти від суми фігур у непарному положенні (1, 3, 5, 7…) і отримано 0 або кратне 11, число дорівнює ділиться на 11.

Перші кратні 11 легко визначити: це 11, 22, 33, 44… 99. Але будьте обережні, 111 ні, натомість 110 є.

Як приклад, давайте подивимось, чи 143 є кратним 11.

Це число має 3 цифри, єдина парна цифра - 4 (друга), дві непарні цифри - 1 і 3 (перша і третя), а їх сума - 4.

Обидві суми віднімаються: 4 - 4 = 0, і оскільки отримано 0, виходить, що 143 кратне 11.

-Подільність на 13

Число без однієї цифри необхідно відняти від 9 разів цієї цифри. Якщо підрахунок повертає 0 або кратний 13, число є кратним 13.

Як приклад ми перевіримо, що 156 є кратним 13. Цифра цифр дорівнює 6, а число, що залишається без неї, 15. Перемножуємо 6 x 9 = 54 і тепер віднімаємо 54 - 15 = 39.

Але 39 - це 3 х 13, тому 56 - кратне 13.

Просте число одне одному

Два або більше простих або складених чисел можуть бути простими або ко-простими. Це означає, що єдиний спільний дільник у них 1.

Є два важливих властивості, які слід пам’ятати, коли йдеться про копризи:

-Дві, три і більше послідовних цифр завжди є простими один для одного.

-Тож саме можна сказати про два, три чи більше послідовних непарних чисел.

Наприклад, 15, 16 і 17 є простими числами один до одного, і так само 15, 17 і 19.

Як знати, скільки дільників має складене число

Просте число має два дільники, те саме число і 1. А скільки дільників має складене число? Це можуть бути родичі або сполуки.

Нехай N - складене число, виражене через його канонічне розкладання так:

N = a ⁿ . б ^м . c ^p … r ^k

Де a, b, c… r - основні коефіцієнти, а n, m, p… k відповідні показники. Що ж, кількість дільників C, яку має N, визначається:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

З С = прості дільники + складені дільники + 1

Наприклад 570, який виражається так:

570 = 2 х 5 х 3 х 19

Усі основні фактори підвищені до 1, тому 570 має:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 дільників

З цих 10 дільників ми вже знаємо: 1, 2, 3, 5, 19 і 570. Пропущено ще 10 дільників, які є складовими числами: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 і 285. Вони виявляються шляхом спостереження за розкладанням на основні фактори, а також множенням комбінацій цих факторів разом.

Розв’язані вправи

- Вправа 1

Розкласти наступні числа на прості фактори:

а) 98

б) 143

в) 540

г) 3705

Рішення для

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 х 7 х 7

Рішення b

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 х 13

Розв’язання c

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

Рішення d

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 х 3 х 13 х 19

- Вправа 2

З’ясуйте, чи перелічуються такі числа один одному:

6, 14, 9

Рішення

-Придатниками 6 є: 1, 2, 3, 6

-За 14, це ділиться на: 1, 2, 7, 14

-Зрештою 9 має як дільники: 1, 3, 9

Єдиний спільний дільник - 1, тому вони є простими один для одного.

Список літератури

1. Бальдор, А. 1986. Арифметика. Видання та дистрибутивні кодекси.
2. Б'юджу. Прості та складені числа. Відновлено з: byjus.com.
3. Прості та складені числа. Відновлено з: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Критерії поділу. Відновлено з: smartick.es.
5. Вікіпедія. Складені числа. Відновлено з: en.wikipedia.org.