УЯВНІ ЧИСЛА: ВЛАСТИВОСТІ, ПРОГРАМИ, ПРИКЛАДИ - МАТЕМАТИКА - 2024

Ці уявні числа є ті , які вирішують рівняння , в якому невідоме, зведено в квадрат дорівнює негативному дійсне число. Уявна одиниця - i = √ (-1).

У рівнянні: z ² = - a, z - уявне число, яке виражається так:

z = √ (-a) = i√ (a)

Будучи позитивним реальним числом. Якщо a = 1, то z = i, де i - уявна одиниця.

Малюнок 1. Складна площина, що показує деякі дійсні числа, деякі уявні числа та деякі складні числа. Джерело: Ф. Сапата.

Взагалі, чисте уявне число z завжди виражається у вигляді:

z = y⋅i

Де у - дійсне число, а я - уявна одиниця.

Так само, як реальні числа представлені на рядку, званому реальною лінією, аналогічно уявні числа представлені на уявній лінії.

Уявна лінія завжди ортогональна (форма 90 °) до реальної лінії, і дві лінії визначають декартову площину, яку називають складною площиною.

На малюнку 1 показана складна площина, а на ній представлені деякі дійсні числа, деякі уявні числа, а також деякі складні числа:

X ₁ , X ₂ , X _{3 -} це дійсні числа

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ - уявні числа

Z ₂ і Z ₃ - складні числа

Число O - це дійсний нуль, і це також уявний нуль, тому початок O - комплексний нуль, виражений:

0 + 0i

Властивості

Набір уявних чисел позначається:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

І ви можете визначити деякі операції на цьому числовому наборі. Уявне число не завжди виходить з цих операцій, тому давайте розглянемо їх трохи детальніше:

Додайте і віднімайте уявне

Уявні числа можна додавати і віднімати одне від одного, в результаті чого виникає нове уявне число. Наприклад:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Продукт уявного

Коли добуток одного уявного числа з іншим робиться, результат - дійсне число. Зробимо наступну операцію, щоб перевірити це:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

І як ми бачимо, -6 - це дійсне число, хоча воно було отримане шляхом множення двох чистих уявних чисел.

Продукт реального числа іншим уявним

Якщо дійсне число помножити на i, то результатом буде уявне число, яке відповідає обертанню на 90 градусів проти годинникової стрілки.

І це те, що i ² відповідає двом послідовним обертанням на 90 градусів, що еквівалентно множенню на -1, тобто i ² = -1. Це можна побачити на наступній схемі:

Малюнок 2. Множення на уявну одиницю i відповідає обертам на 90 ° проти годинникової стрілки. Джерело: wikimedia commons.

Наприклад:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Розширення можливостей уявного

Ви можете визначити потенціювання уявного числа до цілого показника:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Загалом ми маємо, що i ⁿ = i ^ (n mod 4), де mod - залишок ділення між n і 4.

Негативне ціле потенціювання також можна зробити:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Загалом уявне число b⋅i, підняте до потужності n, становить:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Деякі приклади:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Сума дійсного числа і уявного числа

Коли ви додаєте дійсне число до уявного, результат не є ні реальним, ні уявним, це новий тип числа, який називається складним числом.

Наприклад, якщо X = 3,5 і Y = 3,75i, то результат - це комплексне число:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Зауважте, що за сумою реальні та уявні частини не можуть бути згруповані разом, тому складне число завжди матиме реальну та уявну частину.

Ця операція розширює набір реальних чисел на найширші складні числа.

Програми

Назву уявних чисел запропонував французький математик Рене Декарт (1596-1650) як глузування чи незгоду з пропозицією того ж, зробленого італійським математиком століття Раффаелле Бомбеллі.

Інші великі математики, такі як Ейлер і Лейбніц, підтримали Декарта в цій розбіжності і назвали уявні числа амфібійними числами, які були розірвані між буттям і нічим.

Назва уявних чисел залишається і сьогодні, але їх існування та значення є дуже реальними та відчутними, оскільки вони природно з'являються у багатьох галузях фізики, таких як:

-Теорія відносності.

-У електромагнетизмі.

-Квантова механіка.

Вправи з уявними числами

- Вправа 1

Знайдіть рішення наступного рівняння:

z ² + 16 = 0

Рішення

z ² = -16

Беручи квадратний корінь у обох членів, ми маємо:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Іншими словами, рішення вихідного рівняння:

z = + 4i оз = -4i.

- Вправа 2

Знайдіть результат підняття уявної одиниці до потужності 5 мінус віднімання уявної одиниці, піднятої до сили -5.

Рішення

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Вправа 3

Знайдіть результат наступної операції:

(3i) ³ + 9i

Рішення

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Вправа 4

Знайдіть рішення наступного квадратичного рівняння:

(-2x) ² + 2 = 0

Рішення

Рівняння переставляють так:

(-2x) ² = -2

Потім береться квадратний корінь обох членів

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Тоді ми вирішуємо для x нарешті отримати:

x = ± √2 / 2 i

Тобто є два можливі рішення:

x = (√2 / 2) i

Або це інше:

x = - (√2 / 2) i

- Вправа 5

Знайдіть значення Z, визначене:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Рішення

Ми знаємо, що квадратний корінь від’ємного дійсного числа є уявним числом, наприклад √ (-9) дорівнює √ (9) x √ (-1) = 3i.

З іншого боку, √ (-4) дорівнює √ (4) x √ (-1) = 2i.

Тож початкове рівняння можна замінити на:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Вправа 6

Знайдіть значення Z в результаті наступного поділу двох складних чисел:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Рішення

Чисельник виразу можна визначити за допомогою наступної властивості:

Так:

Z = / (3 + i)

Отриманий вираз спрощується нижче, залишаючи

Z = (3 - i)

Список літератури

1. Граф, Р. Складні числа. Відновлено: maths.ox.ac.uk
2. Фігера, Ж. 2000. Математика 1-е. Різноманітний. Видання CO-BO
3. Гофман, Дж. 2005. Вибір тем з математики. Публікації Monfort.
4. Хіменес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
5. Вікіпедія. Уявне число. Відновлено з: en.wikipedia.org